Втреугольнике abc медианы be и ck пересекаются в точке o. через точку о проведена прямая, параллельная ac и пересекающая стороны ab и bc в точках p и t. найдите, если возможно, такое число k, что: 1) tp(вектор) равно kac (вектор) 2) bo (вектор) равно koe( вектор)

tp=2ac(по правилу о средней линии и основания+ptпроходит через среднюю точку о)

т.к. точка о-средняя,значит bo=oe.

Вравнобедренном тр-ке высота, проведенная к основанию, является и биссектрисой, и медианой. значит по пифагору боковая сторона равна √(64+36) = 10см. косинус угла равен отношению прилежащего катета (высота нашего треугольника) к гипотенузе (боковая сторона), то есть cosα = 8/10 = 0,8. отсюда α = 36° (по таблице). значит угол, противоположный основанию нашего треугольника равен 72°, а его косинус (опять же по таблице) равен 0,31. по теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух его других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. значит увадрат искомой медианы равен: 100+25-30*0,31 = 125 - 9,3 =116,7. тогда медиана равна 10,76см. проверь арифметику!

условие

катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведённой к гипотенузе.

также доступны документы в формате tex

подсказка

вычислите указанную высоту, радиус вписанной окружности, расстояние от центра окружности до вершины прямого угла.

также доступны документы в формате tex

решение

первый способ.

пусть r — радиус окружности с центром o, вписанной в прямоугольный треугольник abc с катетами ac = 48 и bc = 36, ch — высота треугольника abc, m и k — точки касания окружности со сторонами ab и ac соответственно, p — проекция центра o на ch. тогда

ab = $\displaystyle \sqrt{ac^{2} + bc^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

om = ok = r = $\displaystyle {\frac{ac + bc - ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

ch = ac . $\displaystyle {\frac{bc}{ab}}$ = 48 . $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$,

cp = ch - ph = ch - om = ch - r = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$ - 12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{84}{5}}$,

oc = $\displaystyle {\frac{ok}{\sin \angle ock}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sin 45^{\circ}}}$ = r$\displaystyle \sqrt{2}$ = 12$\displaystyle \sqrt{2}$,

следовательно,

op = $\displaystyle \sqrt{oc^{2} - cp^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(12\sqrt{2})^{2} - \left(\frac{84}{5}\right)^{2}}$ = 12$\displaystyle \sqrt{2 - \frac{49}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$.

второй способ.

пусть r — радиус окружности с центром o, вписанной в прямоугольный треугольник abc с катетами ac = 48 и bc = 36, ch — высота треугольника abc, m и k — точки касания окружности со сторонами ab и ac соответственно, p — проекция центра o на ch. тогда

ab = $\displaystyle \sqrt{ac^{2} + bc^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

om = ok = r = $\displaystyle {\frac{ac + bc - ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

bh = $\displaystyle {\frac{bc^{2}}{ab}}$ = $\displaystyle {\frac{36^{2}}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$,

bm = bk = bc - ck = bc - r = 36 - 12 = 24,

op = mh = bm - bh = 24 - $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$.