Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. найти площадь четырехугольника.

Если  два  катета  одного  прямоугольного  треугольника  соответственно  равны  двум  катетам  другого    прямоугольного треугольника ,  то  такие    треугольники    равны.  если катет  и  гипотенуза  одного    прямоугольного  треугольника    соответственно  равны  катету  и гипотенузе другого  прямоугольного треугольника , то    такие    треугольники    равны.

поскольку окружность касается осей координат и проходит через точку, расположенную в первой координатной четверти, то центр окружности лежит на прямой  y  =  x. значит, абсцисса и ордината центра окружности равны её радиусу. следовательно, уравнение окружности имеет вид (x  -  r)2  + (y  -  r)2  =  r2. поскольку точка  a(2; 1) лежит на окружности, координаты этой точки удовлетворяют полученному уравнению, т.е.  (2 -  r)2  + (1 -  r)2  =  r2. отсюда находим, что  r  = 1 или  r  = 5. следовательно, искомое уравнение имеет вид:

(x  - 5)2  + (y  - 5)2  = 25  или  (x  - 1)2  + (y  - 1)2  = 1.  решение: (x  - 5)2  + (y  - 5)2  = 25 или  (x  - 1)2  + (y  - 1)2   = 1.