Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 2 см, тупой угол при нем равен 120, если известно, что в трапецию можно вписать окружность

обозначим трапецию как авсд, где вс-меньшее основание, а ад-большее основание. проведем в ней две высоты вк и сн. 

по условию вс=2, а угол в=120*. в четырехугольнике сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180*, значит угол а=60* и угол д=60*(т.к. трапеция равнобедренная по условию). треугольники авк и снд равны по гипотенузе и катету (ав=сд по условию, вк=сн-как высоты). угол авк=30*, значит ак=1/2ав(по свойству угла в 30*). квсн-прямоугольник, значит вс=кн=2. пусть ав=х, тогда сд-тоже равно х, ак=нд=х/2. 

(далее: напомню в 8 классе было свойство которое говорило, что: если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон четырехугольника равны), значит имеем:

х+х=2+2+х/2+х/2,

2х=4+х,

х=4.

значит: ад=6

площадь трпеции вычисляется по формуле: 1/2(вс+ад)вк.

найдем вк по теореме пифагора: вк=(ав в квадр.-ак в квадр.) и все под корнем, получим, что вк=2 корень из 3.

значит площадь равна: 1/2(2+6)*2 корень из 3=8 корень из 3.

 

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. в четвертинке ромба, образованного половинами диагоналей - прямоугольном тр-ке гипотенуза = стороне ромба = 25см, один катет ( меньший) равен х, а больший равен х+5 (так как разность диагоналей равна 10, то разность их половин -5). по пифагору х²+(х+5)²=25² или 2х²+10х-600=0 или х²+5х-300=0решаем квадратное ур-е и получаем: х=(-5+√(25+1200))/2 = (5+35)/2 =20смотрицательное значение х нас не устраивает. значит диагонали ромба равны 40см и 50см.итак, площадь ромба равна 1/2(40*50) = 1000см²

2. в параллелограмм вписана окружность. найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.     решение. пусть стороны параллелограмма равны а и b см. тогда а+a=b+b (теорема в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны). отсюда следует,что а=b, то есть параллелограмм является ромбом, поэтому сторона ромба равна 36/4=9см.  3. найдите площадь четырехугольника авсе, если его периметр равен 60 см, а радиус вписанной окружности равен 5 см.     решение. соединим центр вписанной окружности с вершинами четырехугольника. получим 4 треугольника. проведем радиусы в точки касания н,k,l и m. отрезки он, ok, ol и om будут перпендикулярны к сторонам ав, вс, cd и ad (радиус к касательной). тогда площадь четырехугольника авсе=площади треульника аво+площади треугольника всо+cdo+dao=1/2ав*oh+1/2вс*ok+1/2cd*ol+1/2ad*om= 1/2*r*(ав+вс+cd+ad)=1/2r*периметр авсе=1/2*5*60=150 см^2.