Одна зi сторiн трикутника дорiвнює 14 см, рiзниця двох iнших сторiн — 4 см, а кут мiж ними дорiвнює 120°. обчислiть периметр цього трикутника та радiус описаного кола.

Треугольник авс: ав=14, ас-вс=4, угол с=120. обозначим сторону вс=х, тогда ас=4+х. по теореме косинусов: ав²=ас²+вс²-2*ас*вс*cos 120, подставляем 14²=(4+х)²+х²-2(4+х)х*(-1/2). 196=16+8x+2x²+4x+x²; x²+4x-60=0; d=16+240=256; x=(-4+16)/2=6 см это вс, тогда ас=4+6=10 см. периметр р=6+10+14=30. площадь s= 1/2*вс*ас*sin 120=1/2*6*10*√3/2=15√3. радиус r=ab*bc*ac/4s=14*6*10/4*15√3=14√3.

Решить треугольник, значит найти его не достающие основные элементы. у данного нам треугольника bcd имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон вс, cd, bd) и 3 угловые ( < b, < c и < d). нам известны сторона вс и угпы в и d. требуется найти стороны cd и bd и < c. < c=180°-(45°+60°)= 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°). стороны cd и bd найдем по теореме синусов: вс/sind=cd/sinb, отсюда cd=bc*sin45/sin60 или cd=√3*(√2/2)/(√3/2) =√2. вd/sinc=cd/sinb, отсюда bd=cd*sin75/sin45. sin75=sin(30+45)=sin30*cos45+cos30*sin45 =(1/2)*(√2/2)+(√3/2)*(√2/2). sin75=√2(1+√3)/4. bd=√2*√2(1+√3)/(√2/2)*4= √2(1+√3)/2. сторону вd можно найти и по теореме косинусов: bc²=bd²+cd²-2*bd*сd*cosd или 3=bd²+2-2*bd*√2*(1/2) или bd²-bd*√2-1=0. отсюда bd=√2(1+√3)/2. второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию. или так: bd²=bc²+cd²-2*bc*сd*cosc  или bd²=5-2*√3*√2*cos75. cos75=cos30*cos45-sin30*sin45 = √2(√3-1)/4. заметим, что 4+2√3 = (1+√3)² ((1+√3)²=1+2√3+3). тогда bd=√[(10-6+√12)/2] = √[(4+2√3)/2] = √(1+√3)²/√2 = √2(1+√3)/2.ответ: < c=75°, cd=√2, bd= √2(1+√3)/2.

построим трапецию abcd

обозначим верхнее основание -   а

треуг   abd   прямоугольный равнобедренный

abkd -квадрат  со

стороной а

диагональю bd = a√2

площадью s(abkd)=a^2

площадью  треуг abd -   половина квадрата   s(abd)=a^2/2

треуг   сbd   прямоугольный равнобедренный

bd = bc = a√2

тогда по теореме пифагора   dc=√((a√2)^2+(a√2)^2)= 2a

площадь треуг cbd   s(cbd  )=1/2 *a√2*a√2=a^2

 

общая площадь s=s(abd)+s(cbd  )=a^2/2 +a^2 =3*a^2/2   =  18^2

отсюда 

3*a^2/2   =  18^2

а=6√6

средняя линия m= (a+2a)/2 =  6√6 /2= 3√6

ответ  3√6