Впрямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол лежащий напротив него равен 60 градусам. найдите площадь треугольника.

высота равнобедренной трапеции  равна h, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне,   равен α. найти площадь трапеции

диагонали равнобокой трапеции равны, углы, образуемые при основаниях диагоналями, также равны.  

угол α - внешний угол угла аоd треугольника аоd.так как внешний угол равен сумме внутренних не смежных с ним углов,

то углы при основании ad равнобедренного треугольника аоd равны половине угла αкаждый.из вершины с трапеции проведем параллельно bd прямую се до пересечения с продолжением аd. четырехугольник всed- параллелограмм, dе=вс, и ае равна ad+вс, то есть сумме оснований трапеции. треугольник асе - равнобедренный, т.к. диагонали равнобокой трапеции равны и ас=се, а высота сн в нем - медиана. ае=2 анан=сн: tg(α: 2)=h: tg(α: 2) площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. полусумма оснований трапеции = ан. площадь треугольника асе равна площади трапеции, так как ае= сумме ее оснований. s трапеции равна сн·ан= h·h: tg(а: 2) =h²: tg(а: 2)

через точку а окружности радиусом 10 проведены две хорды ав и ас, так что угол вас =90°, ас=12. найти длину окружности, касающейся данной окружности  и посторенных хорд.

так как угол вас -90°, треугольник авс - прямоугольный, его гипотенуза вс - диаметр окружности, и равна 2r=20, так как центром описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности является середина его гипотенузы.

третья сторона ав этого треугольника равна 16   ( треугольник египетский с отношением сторон 3: 4: 5, можно проверить по т. пифагора).

проведем из вершины угла в прямую, параллельную ас.  из   вершины с проведем касательную см к внутренней окружности получена прямоугольная трапеция авмс с вписанной окружностью, диаметр которой равен ав, так как диаметр вписанной окружности в трапецию равен высоте трапеции, а ав перпендикулярна основаниям трапеции и является ее высотой. 

так как диаметр меньшей окружности равен 16, ее радиус равен r=16: 2=8 а длина окружности с=2πr =16 π