Отрезок ав не пересекается с плоскостью альфа. через концы отрезка ав и его середину(точку м) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость альфа в точках а1, в1, м1. а) докажите, что точки а1, в1, м1 лежат на одной прямойб)найдите аа1, если вв1=12 см, мм1=8см

а) параллельные прямые аа1, вв1, мм1 вместе с пересекающим их отрезком ав образуют плоскость, которая пересекает плоскость альфа - только по прямой! а1, в1, м1 - лежат на одной прямой.

б) используя теорему фалеса, делаем вывод, что в1м1 = а1м1.

значит мм1 - средняя линия в трапеции аа1в1в. пусть аа1 = х

тогда по свойству средней линии:

мм1 = (вв1 + х)/2

8 = (12+х)/2

х = 16-12 = 4 см.

ответ: 4 см.

∠B = 30°

Пояснение:

Дано: Δ АВС, ∠С = 90°, ∠АОС = 105°, биссектрисы CD и АЕ, что пересекаются в точке О

Найти: меньший острый угол Δ АВС

Решение

∠CAO = ∠OAD (так как биссетриса AE делит угол ∠А пополам)

∠ACD = ∠OCB= ∠C/2 = 90°/2 = 45° (так как биссетриса CD делит угол ∠C пополам)

Рассмотрим Δ CAO, в котором ∠CAO = 45°, ∠АОС = 105°, ∠CAO - ?

Так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, то

∠CAO = 180° - (105° + 45°) = 180° - 150° = 30°

∠CAO = ∠OAD = 30°, следовательно ∠А = ∠CAO + ∠OAD = 60°

Рассмотрим Δ АВС, в котором ∠С = 90°, ∠А= 60, ∠B - ?

Так как сумма углов при катетах в прямоугольном треугольнике равна 90°, то

∠B = 90° - ∠А = 90° - 60° = 30°

ответ: ∠B = 30°

соединяем точки а₁, с₁ и к, так как они попарно лежат в одной грани.

а₁с₁ = 10√2 как диагональ квадрата.

δа₁d₁k: по теореме пифагора

              а₁к = √(a₁d₁² + d₁k²) = √(10² + 5²) = √125 = 5√5

δa₁d₁k = δc₁d₁k по двум катетам (a₁d₁ = c₁d₁ как ребра куба, d₁k - общий), значит а₁к = с₁к = 5√5

рa₁c₁k = 10√2 + 5√5 + 5√5 = 10√2 + 10√5 = 10(√2 + √5).

ко - медиана и высота равнобедренного треугольника а₁с₁к.

по теореме пифагора:

ко = √(а₁к² - а₁о²) = √(125 - (5√2)²) = √(125 - 50) = √75 = 5√3

sa₁c₁k = 1/2 · a₁c₁ ·ko = 1/2 · 10√2 · 5√3 = 25√6