Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность правильной пирамиды вычисляется по формуле sбок =1/2*p*l., где р- периметр шестиугольника основания р=10*6=60, l- это высота боковой грани пирамиды(апофемы)  гранью является равнобедренный тр-к, его высота вычисляется по тео-ме пифагора   l=169-25=25 .  l=12  s =1/2*60*12=360

рисунок с расставленными обозначениями отправил по почте (вложения так и не работают).

сначала нужно решить сам тр-к авс чтобы найти r- радиус вписанной в авс окр-ти. (о - т. пересечения биссектрис).

sinb = (4кор3)/7,  sina = (5кор3)/14, угол с = 60 град.

ав = 7,  вс = 5. подробности опускаю. все проделывается элементарно по т. синусов. ас = 8 - по условию.

s(abc) = (1/2)ас*вс*sin60 = 10кор3.

s(авс) = pr = (8+5+7)r/2 = 10r.

значит r = кор3.

угол с/2 = 30 град.

из тр.olc:   lc = r/tg30 = 3.    oc = 2r = 2кор3.    al = 8-3 = 5.

тр. opd подобен тр. ocep. угол pdo = epoc = a + (c/2) = a + 30

od = r/sin(a+30) = r/[sina*cos30 + cosa*sin30] = (14кор3)/13,

то есть sin(a+30) = 13/14

тогда ocd= 14(rc)/13. (rc) - радиус окр-ти с центром oc.

теперь гипотенуза большого тр-ка сfoc:

сoc = oc + od + ocd = 2кор3 + (14кор3)/13 + 14(rc)/13.

с другой стороны:

coc = (rc)/sin30 = 2(rc)

приравняв, найдем (rc):

(rc) = (10кор3)/3

тогда расстояние осо легко вычислить из прямоуг. трапеции ocolf, проведя высоту из т.о на основание ocf:

oco = ((rc) - r )/sin30 = (14кор3)/3

заметим, что fc = (rc) / tg30 = 10теперь аналогичные манипуляции проделаем с другой окружностью - оа.

там пригодится найти sin(a/2)  и  cos(a/2)(через косинус двойного угла а):

sin^2(a/2) = (1-cosa)/2.    sin(a/2) = (кор3)/кор28

cos(a/2) = 5/кор28

sinhqoa = sin(60 + (a/2)) = (3кор3)/кор28

теперь распишем составляющие гипотенузы аоа:

аоа = ао + ом + моа = 5/(cos(a/2))  +  r/(sin(a/2 +60)) + (ra)/(sin(a/2 +

с другой стороны:

аоа = (ra) / sin(a/2) = ((ra)кор28)/кор3.

приравняв и решив уравнение, получим:

(ra) = 2кор3

заметим, что ак = (ra)/tg(a/2) = 10

значит:

fk = 2+8+2 = 12.

завершающий шаг:

из прям. трапеции fkoaoc найдем оаос:

оaос^2 = 144 + (())^2 = 144 + 16/3

оаос = кор(448/3) = (8кор21)/3

ответ: оаос = (8кор21)/3; осо = (14кор3)/3.

 

 

 

 

a)направим ось х по стороне ad ,   ось у - по стороне ав.

тогда координаты вершин: а(0; 0), в(0; 3), с(4; 3), d(4; 0).

при отображении относительно ас, точки а и с останутся на месте, а точки в и d отобразятся в точки b' и d'.фигура и ее площадь при осевой симметрии не изменились, изменилась только ориентация прямоугольника.пусть к - точка пересечения ad' и bc, м - точка пересечения ad и cb'.

тогда искомая площадь пересечения областей abcd и ab'cd' - параллелограмм akcm.

s(akcm) = 3*4 - 2s(ckd').

найдем координаты точки d'.

уравнение прямой ас:   у = 3х/4

тогда уравнение прямой dd' (перпендикулярной к ас) имеет вид:

у = -4х/3   + b. эта прямая проходит через точку d(4; 0). найдем b:

0 = -16/3   +b     b = 16/3     у = -4х/3 + 16/3

ищем пересечение прямых ас и dd':

3х/4 = -4х/3 + 16/3   х = 64/25, у = 48/25

эта точка - середина отрезка dd'.

64/25 = (х+4)/2,     48/25 = (0+у)/2

х = 28/25; у = 96/25     d' (28/25; 96/25)

найдем уравнение прямой ad':

96/25 = 28к/25     к = 96/28 = 24/7     ad': у = 24х/7

найдем координаты т. к - пересечения у=3   и   у = 24х/7

х = 7/8, у = 3

тогда длина отрезка кс = 4 - 7/8 = 25/8 - основание тр-ка kd'c.

высота этого тр-ка: h = (96/25) - 3 = 21/25

искомая площадь:

s = 12 - 2*(kc*h/2) = 12 - 21/8 = 75/8

ответ: 75/8 см^2.

б)при параллельном переносе на вектор са (-4; -3) точка d (4; 0) перейдет в точку d" (0; -3). из п.а) координаты d'-   (28/25; 96/25)

тогда расстояние d'd" = кор( (28/25)^2 + (3 + 96/25)^2) = (кор1201) /5 (примерно 6,93 см)

ответ: (кор1201)/5 (примерно 6,93 см).