Найти косинус угла а треугольника авс если а (-3; -9) в(0; -6) с (-4; -2)

даны векторы {b} (0; 1; 1)   и {d} (√3; 2; -1).

s =   (1/2)*|a × b|

найдем векторное произведение векторов:

c = a × b

a × b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

  =  

i j k

0 1 1

√3 2 -1

  =  

  = i (1·(-1) - 1·2) - j (0·(-1) - 1·√3) + k (0·2 - 1·√3) =  

  = i (-1 - 2) - j (0 - √3) + k (0 - √3) = {-3; √3; -√3}

найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √)² + (√3)² + (-√3)²) = √9 + 3 + 3) = √15.

найдем площадь треугольника:

s =   (1/2)*√15 ≈ 1.936492.

1.пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

доказательство.

рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с .докажем, что с²=а²+в².

доказательство.

достроим треугольник до квадрата со стороной а + в . площадь s этого квадрата равна (а + в)² . с другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав   , и квадрата со стороной с, поэтому s= 4 * ½ав + с² =2ав + с².

доказательство   закончено.

2.

после изучения темы «подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы пифагора. а именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом с, сd– высота . докажем, что ас² +св² = ав².

доказательство.

на основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

ас = , св = .

возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

ас² = ав * аd, св² = ав * dв;

ас² + св² = ав * ( аd + dв), где аd+db=ab, тогда

ас² + св² = ав * ав,

ас² + св² = ав².

доказательство закончено.

3.

данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах , и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.