Найдите высоту треугольника , если она в 4 раза больше стороны , к которой проведена, а площади треугольника равно 72 см квадратных

У- сторона высота   4у s=произведения 1/2 стороны на высоту s=у/2 умножить на 4у 2у²=72 у²=36 у=6 см сторона, значит высота - 24 см

если радиус окружности r, расстояние до хорды r, длина хорды m, то

(m/2)^2 + r^2 = r^2;

поскольку центр окружности совпадает с центром вписанной в треугольник окружности, расстояние до искомых хорд будет одинаковым - равным радиусу вписанной окружности. то есть r -   это радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами 13,14,15.

полупериметр этого треугольника равен (13 + 14 + 15)/3 = 21;

площадь треугольника легко считается по формуле герона и равна 84. 

этот треугольник составлен из двух пифагоровых треугольников - со сторонами (9,12,15) и (5,12,13), приставленных друг к другу катетами 12 так, что катеты 9 и 5 вместе образуют сторону 14. поэтому высота к стороне 14 равна 12, а площадь 12*14/2 = 84.

r = s/p = 84/21 = 4;

откуда

m/2 = 3; (здесь тоже пифагорова тройка 3,4,5, самая первая)

m = 6; (все хорды одинаковые, само собой)

*) вот чем мне решения гоши68 нравятся - все в них правильно, но я полчаса потратил на выведение этой формулы. интересно, сколько времени понадобится школьнику : ) (я думаю, больше, чем полчаса, даже если он знает, как это делается, и бесконечное время, если не знает).

 

треугольник авс, a = 12, b = 15, c = 18; больший угол конечно - с (напротив стороны с).

если   l - биссектриса угла с, то она делит треугольник на два, площади которых 

s1 = (1/2)*a*l*sin(c/2); s2 =  (1/2)*b*l*sin(c/2);

общая площадь s = s1 + s2 =  s1 = (1/2)*a*b*sin(c);  

откуда

(a + b)*l*sin(c/2) =  a*b*sin(c)   = 2*a*b*sin(c/2)*cos(c/2);  

l = 2*a*b*cos(c/2)/(a + b); (это одна из известных формул длины биссектрисы, я её вывод).

с другой стороны, если обозначить cos(c) = х, то из теоремы косинусов

a^2 + b^2 - 2*a*b*x = c^2;

x = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);  

если подставить значения a = 12, b = 15, c = 18; то x = 1/8;  

из тригонометрической формулы 2*(cos(c/2))^2 - 1 = cos(c);

теперь легко найти косинус половинного угла по значению косинуса всего угла с

cos(c/2) = 3/4;  

откуда 

l = 2*12*15*3/(4*(12 + 15)) = 10;  

 

еще один способ решения, самый очевидный, основан на формуле l^2 = a*b - z*y; где z и y - отрезки, на которые биссектриса делит сторону с.

то есть

z + y = c;

z/y = a/b;

откуда z = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b);

если подставить значения   a = 12, b = 15, c = 18; то z = 18*12/27 = 8; y = 10;  

l^2 = 12*15 - 8*10 = 100;

l = 10;

само собой, формулу  l^2 = a*b - z*y; надо уметь выводить, что тоже совсем не просто : )

 

я не смог удержаться, и решил полное доказательство формулы, которую гоша68 использовал : ) ну просто вот не могу отказать

из теоремы косинусов

cos(c)  = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

откуда

1 + cos(c) = ((a + b)^2 - c^2)/(2*a*b) = 2*p*(p - c)/(a*b); где p = (a + b + c)/2;

отсюда cos(c/2) =  √(p*(p - c)/a*b); осталось подставить это в доказанное ранее выражение  l = 2*a*b*cos(c/2)/(a + b); и получится гошина формула. 

что-то это мне напоминает : ) 

 

чего то я завелся : ) а как выводится формула  l^2 = a*b - z*y; это простая теорема, но красиво доказывается, не могу себе отказать : )

пусть треугольник авс, ск - биссектриса, и пусть м - это точка пересечения биссектрисы ск с описанной вокруг авс окружностью. тогда  угол сва равен углу сма - они опираются на одну дугу ас, а углы асм и мсв тоже равны, потому что см - биссектриса угла с (в этом вся поэтому треугольники амс и вкс подобны, то есть

см/ca = cd/ck; или (ck + km)*ck = ca*cb; откуда

ck^2 = ca*cb - c*k*km;  

но ck*km = ak*kb; (ну, уж это то вы хотя это автоматически следует из подобия треугольников акм и

откуда ck^2 = ca*cb - ka*kb; чтд.

 

ну вот, поскольку я полностью исчерпал тему, любой модератор может смело это удалить, как нарушение (ну в самом деле, нет чертежа, много лишнего текста, полно выходящих за рамки школьной программы формул, в некоторых местах - откровенный удаляйте смело, а я погляжу, кто это сделает : )