Ширину прямоугольника увеличили на 5 см и получили квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см2. найдите сторону квадрата.

Пусть   ширина прямоугольника х см, тогда сторона квадрата   (х+5) см.  по  определению площадей квадрата и прямоугольника, а также условию составляем уравнение: (х+5)^2   - x(x+5) = 40 x2+10x+25-x2-5x=40 5x=15 x=3 cм - ширина прямоугольника 3+5= 8 см - сторона квадрата.

1) периметр  найдем длины всех сторон  ав= √(2+5)^2+(3-4)^2+(1-2)^2 = √49+1+1=√51bc= √(-3-2)^2+(-1-3)^2+(-3-1)^2 = √25+16+16 = √57ac= √(-3+5)^2+(-1-4)^2+(-3-2)^2 = √4+25+25 = √54p= √51+√57+√54

2) cosa =? ab={7; -1; -1}bc={-5; -4; -4}cosa= ( 7*-5+1*4+1*4) / √51*57 = -27/√2907

3) bm медиана она будет серединой ас  ac/2 ={-3-5/2; -1+4/2 ; -3+2/2}= {-4 ; 3/2 ; -1/2 }bm=√(2+4)^2+(3-3/2)^2+( 1+1/2)^2 = √40.5

 

4) средняя линия треугольника параллельна третей стороне и равна ее половине  то есть hm=bc/2 =√57/2

5) найдем уравнения медиан  назовем точки пересечения с сторонами ; a1.b1.c1 соотвественно  а1 -всв1 -ас  c1 -ab

a1= {-3+2/2; -1+3/2 ; -3+1 /2} = {-1/2 ; 1; -1 }b1= {-3-5/2; -1+4/2 ; -3+2/2 } = { -4; 3/2; -1/2 }  c1= { 2-5/2; 3+4/2 ; 1+2/2 } = {-3/2 ; 7/2 ; 3/2}

теперь направляющие вектора  аа1 = {-1/2 +5 ; 1-4; -1-2 } = {4.5 ; -3 ; -3 }bb1 = {-4-2 ; 1.5-3 ; -0.5-1} = {-6 ; -1.5; -1.5 }cc1= {-1.5+3; 3.5+1; 1.5+3} = { 1.5 ; 4.5 ; 4.5}теперь сами уравнения

a( -5 4 2) b (2 3 1) c (-3 -1 -3)  aa1= (x+5)/4.5 = (y-4)/-3 = z-2 /-1    bb1= (x-2)/-6 = (y-3) /-1.5 =z-1/-1.5  cc1= (x+3)/1.5 =(y+1)/4.5 = (z+3)/4.5

(x+5)/4.5 = (y-4)/-3 = z-2 /-1    (x-2)/-6 = (y-3) /-1.5 =z-1/-1.5  (x+3)/1.5 =(y+1)/4.5 = (z+3)/4.5

 

{-3x-4.5y-13.5z= 6{x-4y-4z=10{3x-y-z =-7

Мр=ас: 2, mn=bc: 2, pn=ab: 2,  мр, pn и mn- средние линии ∆ авс.  ⇒  ∆ вмр и ∆ авс подобны ( легко  докажете сами)коэффициент подобия   k=1/2 площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.  s1: s=k²= 1/4 тогда s∆  abc=48*4=192 пусть коэффициент отношения сторон ∆авс будет а.  тогда ав=вс=5а, ас=6а опустим из в высоту на ас. в равнобедренном треугольнике высота еще и медиана и биссектриса,  ⇒аn=cn=3a. найдем по т.пифагора высоту: bn=√(ab²-an²)=√16a²= 4a по формуле площади треугольника  s ∆ abc=4a*6a : 2=12a² 12a²=192 a²=16 a=√16= 4 p=5а+5а+6а=16а р=16*4= 64 можно площадь ∆  авс найти несколько иначе:   мр, pn и mn- средние линии ∆ авс. они делят ∆ авс на 4 равных треугольника. : s ∆ abc=48*4=192