Биссектрисы ам и ск углов при основании ас равнобедренного треугольника авс пересекаются в точке о. докажите, что треугольник аос равнобедренный. если можно с рисунком.

Δавс-равнобедренный, значит угол а = углу с, биссектрисы делят углы пополам, а половины равных углов тоже равны, поэтому угол оас= углу оса. в  δаос два угла равны, значит он равнобедренный

Пусть н - середина вс. т.к. δавс равнобедренный, ан - медиана и высота. ан⊥вс. ан - проекция мн на плоскость основания, значит, мн⊥вс по теореме о трех перпендикулярах. ⇒ ∠мна = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью мвс и плоскостью основания. δавн: ∠н = 90°, ав = 10, вн = вс/2 = 8. по теореме пифагора: ан = √(ав² - вн²) = √(100 - 64) = √36 = 6 δман: ∠ман = 90°, tg∠ahm = ma/ah ma = ah · tg∠ahm = 6√3 cos∠ahm = ah/mh mh = ah/cos∠ahm = 6/(1/2) = 12 δmac = δmab по двум катетам (ав = ас по условию, ма - общий катет) ⇒ smac = smab = 1/2 · ma · ac = 1/2 · 6√3 · 10 = 30√3 smbc = 1/2 · bc · ah = 1/2 · 16 · 12 = 96 sбок = smbc + 2 · smac = 96 + 2 · 30√3 = 96 + 60√3

углы каждой пары равны между собой  (каквертикальные):

∠1=∠4,  ∠2=∠5,  ∠3=∠6.

внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, несмежных  с ним.

поэтому ∠1=∠а+∠с,  ∠2=∠а+∠в, ∠3=∠в+∠с.

отсюда сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

∠1+∠2+∠3=∠а+∠с+∠а+∠в+∠в+∠с=2(∠а+∠в+∠с).

так как  сумма углов треугольника  равна 180º, то ∠а+∠в+∠с=180º. значит, ∠1+∠2+∠3=2∙180º=360º.

когда вопрос: «чему равна сумма внешних углов треугольника? », чаще всего имеют в виду именно сумму углов, взятых по одному при каждой вершине. поэтому следует уточнить формулировку — нужно найти сумму углов, взятых по одному при каждой вершине или сумму всех внешних углов. сумма всех шести внешних углов, соответственно, в два раза больше: ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠1+∠2+∠3)=720º.