Прямая am перпендикулярна к плоскости квадрата abcd, диагонали которого пересекаются в точке о. докажите, что: а) прямая bd перпендикулярна к плоскости amo ; б) mo перпендикулярна bd.

А) вд⊥ао, ао⊥ам, значит по теореме о трёх перпендикулярах вд⊥ам. прямая  вд перпендикулярна двум взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости амо, значит она перпендикулярна самой плоскости. б) мо лежит в плоскости амо, вд⊥амо, значит вд⊥мо.

Начертите чертёж и посмотрите внимательно. рассмотрим одну из вершин трапеции и отрезки сторон, соединяющие эту вершину с точками, в которых окружность касается сторон. эти отрезки равны между собой как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. такое рассуждение можно провести для всех 4-х вершин. таким образом, наша трапеция "собрана" из отрезков 4-х видов (длин) , каждый повторяется по 2 раза. назовём эти длины а, в, с и d. периметр трапеции - это 2(а+в+с+d)=12. далее, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. основания также складываются из наших 4-х отрезков. сумма оснований будет (а+в+с+d)=12/2=6. полусумма - (а+в+с+d)/2=6/2=3.

Сумма оснований равна 24.сумма боковых сторон равна сумме оснований. если в четырехугольник можно вписать окружность то суммы противоположных сторон равны. это доказывается легко. нам нужно доказать и обратное утверждение. оно доказывается следующим построением. рассмотрим такой четырехугольник. внишем окружность касающуюся трех сторон. легко видеть, что четвертая сторона может быть проведена единственным образом, как касательная к окружности проходящая через одну из вершин четырехугольника. значит описанный вокруг окружности четырехугольник совпадет с заданным.