Докажите, что каков бы ни был треугольник, середины сторон, основания высот и середины отрезков высот от вершин до ортоцентра лежат на одной окружности. просьба не списывать решение из какой-то книжки, а свое любимое доказательство.

1). при пересечении прямых имеем 4 попарно равных угла в сумме =360°. итак, у нас два угла по 30° и два угла по 150°

2). угол вса = 180°-(36°+36°) = 72° = углу вас. углы кас и кав равны ( ак - биссектриса) =36°.

треугольник сак - равнобедренный, т.к. углы кса и акс = 72°

треугольник акв - равнобедренный, т.к. углы авк и кав = 36°

3) медиана делит сторону ас пополам. соединяя любую точку на медиане с точками а и с имеем равные ртрезки ао и со. у треугольников аом и сом равны стороны ам и мс, ао и со, а ом - общая, значит они равны.

4) в прямоугольном треугольнике авс напротив угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть ас = 4.

ав = ас²-вс² = 2√3. но ав = 2аd*cos30°; cos30°= 0.866 (по таблице косинусов

аd = ав/(2*0,866) = 2√3/(2*0,866) = 2 (т.к.√3= 2*0,866)

итак, периметр авс = ав+вс+св =2√3 +2+4 < 10.

Пусть  х -это периметр первого треуг, у -это периметр второго теуг, тогда х+у=690. из  подобия треугольников мы знаем, что  соотношение сторон 2-х подобных треуг =коээфициенту к=8: 15, а также  коэффициенту к = соотношение их периметров, тогда  х: у=к=8/15, из полученной пропорции найдем у=15*х/8, найденный у подставим в сумму периметров  х+15*х/8=690  8х+15х=5520  х=240  дм,  это  периметр  первого  треуг,  тогда  периметр  второго  треуг  у=690-240=450  дм.