Даны вершины треугольника a(7; -8; 2) b(10; -8; -1) c(11; -4; 2) найдите величину угла bac этого треугольника

угол α между вектором a и b:

cosα=(xa*xb+ya*yb+za*zb)/[√(xa²+ya²+za²)*√(xb²+yb²+zb²)].

в нашем случае вектор а - это вектор ав, а вектор b - вектор ас. искомый угол < bac.   найдем координаты векторов.

вектор ав={10-7; -); -1-2} = {3; 0; -3}.

вектор ас={11-7; -); 2-2} = {4; 4; 0}.

тогда cosα = (12+0+0)/[√(9+0+9)*√(16+16+0)] = 12/24 =1/2.

ответ: < bac = arccos(0,5) = 60°

Произведение векторов - это их скалярное произведение. скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2. скалярное произведение можно записать еще как: a•b=|a|•|b|*cosα модуль (длина) вектора ав ( гипотенуза) =4, так как катет ас лежит против угла 30°. < а=60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). ef - средняя линия треугольника ef=2 и она перпендикулярна катету вс (так как параллельна катету ас). модуль вектора вс по пифагору равен √(16-4)=2√3. в нашем случае: 1) вектора (ва*вс)=|ba|*|bc|*cosb = 4*2√3*(√3/2)=12. 2) вектора (ва*ас)=|ba|*|аc|*cosа = 4*2*(1/2)=4. 3) вектора (еf*вс)=|ef|*|вc|*cos90° = 0. второй вариант: (a,b)=x1*x2+y1*y2. привяжем начало координат к точке с. тогда имеем точки с(0; 0), а(0; 2), в(2√3; 0), е(√3; 1) и f(√3; 0). координаты векторов: ва{-2√3; 2}, bc{-2√3; 0}, ac{0; -2}, ef{0; -1}. тогда 1) (ва*вс)=12+0=12. 2) (ва*ас)=0+4=4. 3) (еf*вс)=0+)=0. p.s.найдем косинус угла между векторами ef и вс по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)] или cosα=(0*(-2√3)+(-1)*0)/(√(0+1)*√(12+0)) =0/2√3=0. значит угол между этими векторами 90°.

Есть теорема - если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм. док-во - четырехугольник авсд, ас и вд диагонали, о-пересечение диагоналей, ао=со, во=до, треугольник аов=треугольник сод по двум сторонам (ао=со, во=до) и углу между ними (уголаов=уголсод как вертикальные) значит ав=сд, уголвао=уголдсо - это внутренние разносторонние углы, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние разносторонние углы равны то прямые параллельны, ав параллельна сд, если в четырехугольнике две стороны попарно равны и параллельны то четырехугольник - параллелограмм, авсд-параллелограмм, также можно доказать что ад=вс, ад параллельно вс, ав+вс=13,6, периметр авсд=2*(ав+вс)=2*13,6=27,2