Впрямом параллелепипеде боковое ребро равно 2 м, стороны основания - 23 и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2: 3.найдите площади диагональных сечений.

в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. в данном случае пусть диагонали равны  2*х и 3*х.

тогда по теореме пифагора

23² + 11² + 23² + 11² = 529 + 121 + 529 + 121 = 1300 = (2 * х)² + (3 * х)² = 4 * х² + 9 * х² = 13 * х², откуда  х = 10.

следовательно, диагонали основания равны 20 дм и 30 дм или 2 м и 3 м, площади диагональных сечений  4 м² и 6 м² 

Треугольник abc равнобедренный с основанием ac.на стороне bc отметили точку m так,что bm=am=ac.   найдите углы этого треугольника.  угол amc - внешний угол равнобедренного треугольника авm (bm=am и < b=< bаm), следовательно < amc=2*< b, так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.в равнобедренном треугольнике amс (am=ас дано)   < amc=< c.итак, < c=< amc=2*< b и в равнобедренном треугольнике аbс имеем: < а=< c=2*< b. значит 5*< b=180° (по теореме о сумме внутренних углов треугольника), отсюда < b=180°: 5=36°. тогда < а=< c=72°.ответ: в треугольнике авс < а=< c=72°, < b=36°.

Уравнение медианы: м=(1/2)*√(2a²+2b²-c²). тогда сn=(1/2)*√(2cs²+2cd²-sd²)=3√6. cn=bm=3√6. mp=np=3√6 (так как mn - средняя линия треугольника врс). pq -медиана. pq=(1/2)*√(2mp²+2np²-mn²)=(1/2)*√(4*54-9)=1,5√23. тогда площадь треугольника mpn: smpn=(1/2)*pq*mn=(1/2)*1,5√23*3=2,25√23. из формулы для медианы sn треугольника рsc найдем сторону sp. sn=(1/2)*√(2cs²+2sp²-cp²). или 6=(1/2)*√(288+2sp²-216), так как сp=np+hc=6√6. тогда 12=√(72+2sp²). или 144=72-2sp². отсюда sp=√36=6. мы видим, что sp=sm=sn=6. следовательно, в пирамиде smpn боковые ребра равны, а это значит, что вершина s проецируется в центр описанной окружности треугольника mpn, радиус которой равен по формуле: r=abc/4s. в нашем случае r=3*54/9√23=18/√23. тогда из прямоугольного треугольника psh имеем по пифагору: sh=√(sp²-ph²)=√(sp²-r²)=√(36-324/23)=√(36-324/23)= =√(504/23)=6√14/√23. ответ: расстояние от вершины s до плоскости всм равно 6√14/√23. второй вариант - координатный метод. так как пирамида правильная, в основании - квадрат. диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2. высота пирамиды по пифагору so=√(sc²-oc²)=√(144-18)=3√14. даны точки: в(0; 0; 0), с(6; 0; 0), м(1,5; 1,5√14; 4,5). s(3; 3√14; 3). составим уравнение  плоскости через три точки: для составления уравнения плоскости используем формулу: |x - xв  xс-xв  xм-xв| |y - yв  yс-yв  yм-yв| = 0. |z - zв  zс-zв  zм-zв| подставим данные трех наших точек: |x-0  6-0            1,50    |                          |x-0  6        1,5    | |y-0  0-0    1,5√14-0 | = 0.    или |y-0  0  1,5√14 | = 0. |z-0  0-0          4,5 0    |                          |z-0  0        4,5    | раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:               |0 1,5√14 |                    |6  1,5|                    |6     1,5    | (х-0)*|0      4,5    | - (y-0)*|0  4,5| +(z-0)*|0  1,5√14| =0. (х-0)(0--0)(27-0)+(z-0)(9√14-0)=0.      или 0х-27y+9√14z=0. если задано уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0, то расстояние от  точки s(sx, sy, sz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу: d=|a*sx+b*sy+c*sz+d|/√(a²+b²+c²) или d=|0-27*3√14+9√14*3+0|/√(0+729+1134)= 54√14/√1863=9*6√14/9√23=6√14/√23. ответ: расстояние от вершины пирамиды до плоскости всм равно 6√14/√23.