4. в тупоугольном треугольнике авс на стороне ав длиной 14 выбрана точка е, равноудаленная от прямых ас и вс, а на отрезке ае – точка к, равноудаленная от вершин а и в. найти синус угла асв, если ке = 1, а угол сав = 45º.

Пусть h – основание перпендикуляра из l на ac, p – на bc. lh=lp. ak=kb=14/2=7 al=ak+lk=8, bl=ak+lk=6 lh=al * sin cab=4 sqrt 2 lp=lh=4*sqrt 2 sin lbp=lp/bl=2sqrt 2/3 если p лежит на bc, то угол abc=угол lbp. но т. к. sin lbp= 2sqrt 2/3 > sqrt 2/2, то угол abc > 45 градусов. тогда угол acb = 180 – угол cab – угол авс < 90 градусов, треугольник тупоугольный. следовательно, p лежит на продолжении bc, и угол abc=180 - угол lbp – тупой. cos abc =- sqrt (1- sin^2 abc)=-1/3. sin acb = sin (180 – угол cab – угол авс) =sin (cab+abc)= =sin cab*cos abc+cos cab*sin abc=sqrt 2/2(-1/3+2sqrt2/3)=(4-sqrt 2)/6

∠amb и  ∠bmp - смежные, их сумма равна 180° ∠amb +  ∠bmp = 180° ∠bmp = 180° -  ∠amb ∠bmp = 180° - 139°  ∠bmp = 41° рассмотрим  δmbp: ∠mpb = 90° (т.к. ap - высота) ∠bmp = 41 °сумма углов в треугольнике равна 180° ∠bmp +  ∠mpb +  ∠mbp = 180° ∠mbp = 180° -  ∠bmp -  ∠mpb  ∠mbp = 180° - 41°  - 90° ∠mbp = 49° рассмотрим  δqbc: ∠qbc=∠mbp = 49 °∠bqc = 90° (т.к. bq - высота) сумма углов в треугольнике равна 180°∠bqc +  ∠qcb +  ∠qbc = 180° ∠qcb = 180° -  ∠bqc    -  ∠qbc  ∠qcb = 180° - 90° - 49° = 41° рассмотрим  δabc: ∠acb=∠qcb = 41° ∠abc = 67°(по  условию) сумма углов в треугольнике равна 180°∠cab +  ∠abc +  ∠acb = 180° ∠cab  = 180° -  ∠abc -  ∠acb∠cab = 180°  - 67°  - 41° ∠cab = 72° ответ:   ∠cab = 72 °

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 √41 и 25√41, то по теореме пифагора гипотенуза = √(20 √41)² + (25√41)²=√16400+25625=√42025=205 площади треугольника равна: s = (20 √41 * 25√41) / 2 (половине произведения катетов). площади треугольника равна: s = (205 * х) / 2 = (половина произведения стороны на высоту, проведенную к ней) где х - высота, проведенная к гипотенузе. составим равенство и найдем значение х: (20 √41 * 25√41) / 2 = (205 * х) / 2  (20 √41 * 25√41)  = (205 * х)  (умножили на 2) √400*41*√625*41=205х √16400*√25625=205х √420250000=205х 20500=205х х=20500: 205 х=100 ответ: высота равна 100.