Решить! сторона правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием равен 60·. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть треугольник abc-основание пирамиды, он правильный, d верхняя вершина пирамиды. рассмотрим треугольник dab, он равнобедренный (т.к. призма правильная). по условию угол dab  равен 60 гр, значит треугольник dab правильный, и значит призма состоит из 4 равных правильных треугольников, стороны которых равны 4. найдем площадь одного из них, например, dab. высота dh = площадь треугольника равна 4·2√3·1/2=4√3 тогда площадь призмы равна 16√3

Площадь боковой поверхности цилиндра равна периметру основания, умноженного на высоту, то есть s = 2*pi*r*h. r = ao = ob, h = oo1. s = 2*pi*r*oo1. рассмотрим нижнее основание - окружность с центром о: дуга ав равна бета, центральный угол равен радианной или градусной мере дуги, на которую опирается, а поскольку дуга ав = бета, следовательно, центральный угол аов = бета. с этих пор обозначим угол альфа - α, бета - β. из равнобедренного треугольника аов (поскольку ао = во - радиусы) < oab = < oba = (180-β)/2 = 90 - β/2. по теореме синусов: ab/sin(β) = r/sin(90-β/2), из таблицы формул аргумента имеем: sin(pi/2-р) = cos(р), поскольку pi/2 = 90 градусов, а угол р = β/2, имеем: ab/sin(β) = r/cos(β/2), ab = (r*sin(β))/cos(β/2). найдем теперь высоту ok: ok^2 = ob^2 - (bk)^2, ok^2 = ob^2 - (ab/2)^2, ok^2 = r^2 - ((r*sin(β))/2cos(β/2))^2. рассмотрим треугольник abo1: ao1 = bo1, следовательно треугольник abo1 равнобедренный, а следовательно,  < o1ab = < o1ba = (180 - α)/2 = 90 - α/2. аналогично предыдущему, по теореме синусов: ab/sin(α) = ao1/sin(90-α/2), sin(90-α/2) = cos(α/2). имеем: ao1 = (ab*cos(α/2))/sin(α) = (r*sin(β)*cos(α/2))/sin(α)*cos(β/2). рассмотрим прямоугольный треугольник oo1a:   oo1 = o1a^2 - oa^2. , я это лучше распишу на картинке. и площадь боковой поверхности, , тоже.

Решение: дополнительное построение: проведем диоганаль ас1) рассмотрим треугольник авс , т.к. ав=вс следовательно треугольник равнобедренный а значит по свойству равнобедренного треугольника угол вас = вса а т.к. в треугольнике сумма углов = 180 градусов следовательно найдем угол а и с.(180-69)/2=55,5 градуса2) аналогично вычисляем угол дас и дса, получаем (180-135)/2=22,5 градуса3) из этих вычислений мы сможем получить угол а сложив угол вас и дас 55,5+22,5=78градусов ответ: угол а=78 градусам