Вравнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 см, основания 8 см и 20 см.найдите площадь трапеции.

Проведем высоты bh1 и ch2. ad=ah1+h1h2+h2d. ah1=dh2, т.к. треугольники abh1 и cdh2 равны по двум сторонам и углу межу ними (ab=cd, bh1=ch2, уг. abh1=dch2) тогда ad=2ah1+h1h2 ah1=(20-8)/2=6 см по теореме пифагора bh1=√(ab²-ah1²)=√(100-36)=√64=8 см тогда s=1/2(ad+cb)bh1=0.5(8+20)*8=112см²

Делается дополнительное построение, как на чертеже. ∠cfd = ∠adf = ∠cdf (de - биссектриса ∠adc); поэтому δcfd - равнобедренный, cf = cd; далее, поскольку cf ii ad и ae = be; то de = fe (миллион объяснений, от теоремы фалеса до равенства треугольников ebf и aed) поэтому в равнобедренном δcfd ce - медиана к основанию. то есть ce перпендикулярно de, в прямоугольном δced em - медиана к гипотенузе, то есть em = cd/2 = 39/2; но em - средняя линия трапеции abcd; em = (bc + ad)/2; (уже после опубликования решения автор мне заметила, что δemd равнобедренный по той же самой причине, что и δfcd, поскольку средняя линия em ii ad, поэтому сразу можно было бы написать em = md = cd/2) отсюда ad = cd - bc = 27; теперь надо провести ck ii ab; в δckd cd = 39; ck = ab = 36; kd = ad - bc = 15; то есть получился пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2) это означает просто, что трапеция abcd - прямоугольная, боковая сторона ab перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. отсюда площадь трапеции em*ab = 36*39/2 = 702

На чертеже все обозначения и дополнительные построения. я пронумеровал окружности, чтобы не писать каждый раз "окружность, описанная " 1) точка k соединяется с b и c, точка l - с a и d; bc ii ad => ∠bda = ∠dbc; ∠cko = ∠cbo; как вписанные в окружность 3; ∠alo = ∠ado; как вписанные в окружность 4; => ∠alk = ∠ ckl (это тот же угол, что и ∠cko, я сразу , что надо внимательно следить за тем, какие объекты соответствуют обозначениям) => kc ii la; совершенно аналогично через пару углов ∠oad = ∠ocb; и равные им углы ∠klc и ∠bkl доказывается kb ii ld; 2) если продлить kb, kc, ld и la (если нужно, тут возможны варианты, в случае, изображенном на чертеже, продлевать la не нужно) до взаимного пересечения, то получится параллелограмм knlp; точка n лежит на окружности 1, потому что ∠anb = ∠ald (так как kn ii ld) а ∠boa = 180° - ∠aod = (поскольку четырехугольник aold вписан в окружность 4) = 180° - (180° - ∠ald) = ∠ald; то есть хорда ab окружности 1 видна из точек o и n под одинаковым углом. поэтому они лежат на одной окружности 1. по пути я доказал, что ∠bod = ∠cod = ∠ald (все эти углы составляют 180° в сумме с ∠aod); поскольку ∠kpl + ∠ald = 180° (так как kp ii la), то четырехугольник codp вписан в окружность 2, и точка p лежит на ней. 3) теперь я проведу из точки n прямую nm до пересечения с окружностью 2 в точке p1. (её нет на чертеже, и сейчас станет ясно, почему.) ∠anm = 180° - ∠aom = ∠moc = 180° - ∠cp1m; то есть an ii cp1; поскольку через точку c можно провести только одну прямую, параллельную an, точка p1 совпадает с p. 4) таким образом, доказано, что диагональ np параллелограмма knlp проходит через вторую общую точку окружностей 1 и 2, то есть через точку m. разумеется, m - середина второй диагонали kl (точка пересечения диагоналей параллелограмма), что требовалось доказать, и одновременно - середина np.