Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра(в осевом сечении квадрат) равна a. найти площадь поверхности сферы, вписанной в цилиндр и объём шара, описанного вокруг него.

1)

Δ АСВ – прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ2=AC2+BC2=225+400=625

AB=25

Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ

СH– проекция MH

CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ

Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,

Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ

S=1/2·АС·ВС

и

S=(1/2)·АВ·СН

СН=АС·ВС/АВ=20·15/25=12

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МН=СН/сos 60 °=12/0,5=24

О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.

2)

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МC2=MH2–CH2=242–122=432

MC=12√3

S=S Δ MBC+S Δ MAB+S Δ MAD+S Δ MDC+S(ABCD)

S Δ MBC=(1/2)BC·CD=(1/2)·20·12√3=

S Δ MAB=(1/2)AB·CH=(1/2)·25·12=150

CK⊥АD

CK=AB·CH/AD=25·12/20=15

S Δ MAD= (1/2)AD·CK=(1/2)20·15=150

S Δ MDC=(1/2)CD·MC=(1/2)·25·12√3=

S(ABCD)=2S Δ ABC=2·(1/2)BC·AC=20·15=300

Объяснение:

1)

Правильная 4-х угольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — квадрат, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

S(полн)=S(осн)+S(бок),  S(осн)=АВ²  , S(бок)=1/2 Р(осн)*а, где а-апофема.

S(осн)=24²   , S(осн)=576 дц².

Пусть МК⊥ВС, тогда ОК⊥ВС , по т. о 3-х перпендикулярах.  ОК=12 дц.

ΔОМК-прямоугольный , по т. Пифагора  МК²=ОК²+МО²  , МК=20 дц.

S(бок)=1/2 *(4*24)*20=960(дц²).

S(полн)=576+960=1536 (дц²).

На швы и обрезки ещё дополнительно тратится 25% ⇒

(1536*25):100=384(дц²) тратиться на швы и обрезки.

1536+384=1920 (дц²)