Сторони триугольника 8 см, 7 см, 12 см. можно ли утверждать, что данный триугольник остроугольный?

в треугольнике только один угол может быть тупым, два другие острые,

или прямым, два другие острые, или все острые

против наибольшей стороны треугольника лежит наибольший угол

по теореме косинусов

косинус угла х, что лежит против стороны длиной 12 см(наибольшей из сторон треугольника)

cos x=(8^2+7^2-12^2)/(2*8*7)=-31/(2*8*7)< 0

значит х - тупой угол

значит треугольник тупоугольный (утверждать, что он остроугольный нельзя)

в остроугольном треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух меньших сторон, а в тупоугольном - больше.

в данном случае    12² = 144 > 8² + 7² = 64 + 49 = 113 ,  поэтому треугольник тупоугольный.

объяснение:

рисунок к в приложении - для пояснения.

авх = 9 - (-3) = 12,   аву = -3 - 2 = - 5,   ав(12; -5) - вектор

всх = 8 - 9 = -1,   всу = 6 - (-3) = 9,     вс(-1; 9) - вектор

асх = 8 - (-3) = 11,   асу = 6 - 2 = 4,     ас(11; 4) - вектор

а теперь операции уже с новыми векторами.

ax = ab + bc = (12-1) = 11   ay = -5+9 = 4,     a(11; 4) - сумма векторов

bx = ac - ab = 11-12 = - 1     by = 4 - (-5) = 9   b(-1; 9) - разность векторов.

ответ:

определение 3.2. проекцией (или координатой) вектора ab на ось ol называется число, равное: а) длине компоненты a1 b1 на ось ol , если направление ком- поненты совпадает с направлением оси ol ; б) длине компоненты a1 b1 , взятой со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси ol . пусть векторы i, j, k — единичные векторы координатных осей ox, oy, oz соответственно, то есть i , j , k = 1 и направление каждого из них совпадает с положительным направлением соот- ветствующей оси. обозначим через a x , a y , a z координаты a (про- екции вектора a на оси ox, oy, oz соответственно). тогда a = ax i + a y j + az k; (3.1) a = a x + a y + a z2 2 2 . (3.2) направление вектора a определяется углами α , β , γ , которые он образует с осями ox, oy, oz , соответственно. косинусы этих уг- лов называются направляющими косинусами вектора a . они оп- ределяются по формулам ax ay a cos α = , cos β = , cos γ = z . (3.3) a a a если a x , a y , a z — координаты вектора a (то есть проекции на координатные оси ox, oy, oz ), то пишут: a {a x ; a y ; a z }. отметим некоторые свойства координат векторов. 1. каждая координата суммы двух и большего числа векто- ров равна сумме соответствующих координат слагаемых векто- ров, то есть если a {a x ; a y ; a z }, b {bx ; b y ; bz }, то a+b имеет координаты {a x + bx ; a y + b y ; a z + bz }. 2. каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, то есть, если a {a x , a y , a z }, b {bx , b y , bz }, то вектор a − b имеет координаты {a x − bx ; a y − b y ; a z − bz }. 3. каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это чис- 71 ло, то есть, если a {a x ; a y ; a z }, то вектор ka имеет координаты {ka ; ka x y ; ka z }. 4. вычисление координат вектора по координатам его начала и конца: если начало вектора в точке m 1 (x1 ; y1 ; z1 ), а конец в точке m 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ), то вектор m 1 m 2 имеет координаты {x2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 }, (3.4) то есть, чтобы найти координаты некоторого вектора, следует из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. пример 3.3. даны две точки a(3; 1; − 1), b(5; 2; − 3). найти коорди- наты вектора ab , его длину ab и направляющие косинусы. решение. используя формулу (3.4), получаем ab{5 − 3; 2 − 1; − 3 − (−1)}, то есть ab{ 2; 1; − 2}. по формуле (3.2) получаем ab = 2 + 1 + (−2) = 9 = 3. 2 2 2 по формуле (3.3) имеем: 2 1 2 cos α = , cos β = , cos γ = − . 3 3 3 2 1 2 ответ: ab{ 2; 1; − 2}, ab = 3, cos α = , cos β = , cos γ = − . 3 3 3 пример 3.4. даны два вектора a = 3i + 5 j − 2k и b{− 4; 5; 1}. найти длину и направляющие косинусы вектора c = a − 3b. решение. по условию и в силу формулы (3.1) имеем: a{3; 5; − 2} и b{− 4; 5; 1}. тогда по свойствам проекций координаты вектора c равны: c x = a x − 3bx = 3 − 3(− 4) = 15, c y = a y − 3b y = 5 − 3 ⋅ 5 = −10, c z = a z − 3bz = −2 − 3 ⋅ 1 = 5. следовательно, по формулам (3.2) и (3.3) c = 15 2 + (− 10) + (− 5) = 5 9 + 4 + 1 = 5 14 ; 2 2 15 3 − 10 2 −5 1 cos α = = ; cos β = =− ; cos γ = =− . 5 14 14 5 14 14 5 14 14 ответ: c = 5 14 ; cos α = 3 ; cos β = − 2 ; cos γ = − 1 . 14 14 14 72 пример 3.5. даны вершины треугольника a(2; 1; − 3), b(5, 0; − 4), c (7; 4; − 2 ). найти длину медианы am . 1 решение. am = ab + bc. используя формулу (3.4), получаем: 2 b m ab{3; − 1; − 1}, bc {2; 4; 2}, a c am {4; 1; 0}. рис. 3.8 по формуле (3.2) вычисляем am = 4 2 + 12 + 0 2 = 17 . ответ: 17 . для самостоятельной работы 1. дана призма abca1 b1c1 . найти сумму векторов: а) ba + aa1 + a1c ; б) cc1 + c1 a + aa1 ; в) aa1 + a1 b1 + b1 b + bc. ответ: а) bc ; б) ca1 ; в) ac. 2. найдите периметр треугольника, образованного векторами ab, bc , ca, если a(0; 1; − 3), b (2; 5; − 7 ), c (− 2; 1; − 3). ответ: 4(2 + 3 ). 3. даны два вектора a{5; 2; − 1}, b{3; 0; 1}. найти длину и направ- ляющие косинусы вектора: а) 2b − a ; б) 2a − b ; в) b − a. 1 2 3 7 4 3 ответ: а) 14 , ,− , ; б) 74 , , ,− ; 14 14 14 74 74 74 1 1 1 в) 2 3, − ,− , . 3 3 3 § 3. нелинейные операции над векторами 1. скалярное произведение двух векторов определение 3.3. скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и ко- синуса угла между ними. (за угол между векторами принимают 73 угол между содержащими их прямыми, величина которого при- надлежит промежутку [0, π ] ). скалярное произведение векторов a и b обозначается через a b или a ⋅ b. таким образом, по определению.