Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны

Две прямые, параллельные третьей, параллельны. это свойство называется транзитивностью параллельности прямых. доказательство пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке a, не лежащей на прямой c по условию. следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку a, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. это противоречит аксиоме 3.1. теорема доказана. аксиома 3.1через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Если мы докажем, что BC║AD и AB║CD, то докажем, что ABCD параллелограмм.

1) ∠DBC = ∠BDA по условию, а это внутренние накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей BD ⇒ BC║AD. (если внутренние накрест лежащие угли при двух прямых и секущей равны, то эти прямые параллельны).

2) ΔBOC = ΔAOD по второму признаку (стороне и двум углам):

BO = OD по условию,  ∠OBC = ∠ODA по условию,  ∠BOC = ∠AOD вертикальные углы.

В равных треугольниках соответствующие стороны равны. AO = OC

3) ΔAOB = ΔCOD по первому признаку:

BO = OD по условию,  AO = OC по доказанному, ∠AOB = ∠COD - вертикальные углы.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.

∠BAO = ∠DCO, это внутренние накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC. ⇒ AB ║CD

4) В четырехугольнике ABCD AD║BC  и  AB ║ CD. Четырехугольник ABCD параллелограмм.

Доказано.

параллелепипеде верны следующие равенства:

\begin{gathered}\vec{AB}=\vec{A_1B_1}=\vec{DC}=\vec{D_1C_1}\\\vec{BC}=\vec{B_1C_1}=\vec{AD}=\vec{A_1D_1}\\\vec{AA_1}=\vec{BB_1}=\vec{DD_1}=\vec{CC_1}\\\end{gathered}AB=A1B1=DC=D1C1BC=B1C1=AD=A1D1AA1=BB1=DD1=CC1

следовательно

\begin{gathered}\vec{AB}+\vec{B_1C_1}+\vec{DD_1}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DD_1}=\vec{AD_1}vec{BD_1}-\vec{B_1C_1}=\vec{BD_1}-\vec{BC}=\vec{CD_1}\end{gathered}AB+B1C1+DD1+CD=AB+BC+CD+DD1=AD1BD1−B1C1=BD1−BC=CD1

2.\begin{gathered}\vec{BN}=\vec{BD}+\vec{DN}=\vec d +\frac{1}{2}\vec{DS}=\vec d+\frac{1}{2}(\vec{BS}-\vec{BD})=\\=\vec d+\frac{1}{2}\vec{BS}-\frac{1}{2}\vec d=\frac{1}{2}\vec d+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{BC}))=\frac{1}{2}\vec d + \frac{1}{4}\vec a + \frac{1}{4}\vec c\end{gathered}BN=BD+DN=d+21DS=d+21(BS−BD)==d+21BS−21d=21d+21(