Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с ней из одной вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника

Пусть две стороны треугольника равны a и b, а медиана проведена к третьей стороне, которая равна с. длина медианы пусть равна m. тогда если продолжить медиану на ее длину, и достроить до параллелограмма, то верно неравенство треугольника: a+b> 2m. отсюда первое условие. для второго, исходный треугольник разбит медианой на 2 треугольника. для каждого из них неравенство треугольника можно записать так: m+c/2> a m+c/2> b складывая эти неравенства и перенося с, получим 2m> a+b-c, что и требовалось.

По т.косинусов тм² = та² + ма² - 2*та*ма*cosbac =  = 36*44 + 36*36 - 2*12*√11*36*√11 / 6 =  = 36*80 - 12*12*11 = 6*6*4*(20 - 11) = (6*2*3)² tm = 36 треугольник тма -- равнобедренный и углы мта = мат   ((хоть и разным цветом на рисунке если в треугольнике мот (он провести  высоту=медиану=биссектрису, то в получившемся прямоугольном треугольнике  угол при вершине о будет равен углу r = (tm / 2) /  sinbac = tm / (2*sinbac) sinbac =  √(1 - 11/36) = 5/6 r = 36*6 / 10 = 21.6

Явот так "хитро" напишу : если "сдвинуть" точку k, совместив её с точкой p, то получится описанная трапеция, так как биссектрисы всех углов пересекутся в одной точке. это означает, что  ab + cd = (ad - pk) + (bc -  pk); или (ad + bc)/2 = (ab + cd)/2 + pk = (4 + 10)/2 + 1 = 8; на самом деле средняя линия разбивается на 3 куска, один из которых pk, а два других - медианы к гипотенузам  прямоугольных треугольников apb и  ckd. то есть она равна ab/2 + cd/2 + pk. ну, это тоже решение. надо только обосновать :