Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе , разбивает его на треугольника с периметрами 8 и 9. найти стороны треугольника.

обозначим треугольник авс, угол с=90°;   медиана см

примем см=а. 

медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 

поэтому ам=вм=см=а ⇒

гипотенуза ав=2а

примем катет ас=х, тогда периметр ∆ амс=ам+см+ас=2а+х

2а+х=8

р(смв)=2а+св

р(смв)- р(сма)=9-8=1, следовательно, св=ас+1=х+1

из ∆ амс=2а=8-х

так как ав=2а, то ав=8-х

по т.пифагора ав²=ас²+вс²

(8-х)²=х²+(х+1)²

64-16х+х*=х²+х²+2х+1 --

х²+18х-63=0

решив квадратное уравнение, получим х1=3, х2=-21( не подходит)⇒

ас=3, 

вс=3+1=4. 

гипотенуза ав=8-3=5 

Из 10 класса: рассмотрим прямую а и точку м, не лежащую на этой прямой. через прямую а и точку м прохолит плоскость, и притом только одна. обозначим эту плоскость буквой b. прямая, проходящая черещ точку м параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой м и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости b. но в плоскости b через точку м проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна.(пусть это будет прямая с) итак, с - единственная прямая, проходящая через точку м параллельно прямой а.

Опустим из вершин тупых углов трапеции высоты к   большему основанию. часть большего основания и высота, как катеты, и боковая сторона - гипотенуза, образовали прямоугольный треугольник из тех, что называют египетскими. стороны в нем относятся как 3: 4: 5. поэтому без вычислений ( хотя можно и теорему пифагора применить) можно определить, чтоменьший катет этого треугольника кратен 3. а так как боковая сторона вдвое больше 5,то и катет нd вдвое больше трех иравен 6 см.  это - проекция боковой стороны на большее основание. точно так же с другой стороны от большего основания отсекается высотой отрезок, равный 6 см.   так как большее основание равно 17, то средняя его часть равна  17-6*2=5 см эта часть является стороной прямоугольника, равной меньшему основанию.  вс=5 см осталась арифметика: периметр трапеции равен 5+17+2*10=42 см