10 класс. контрольная работа по «теорема о трёх перпендикулярах» вариант 1 i. в треугольнике авс ав -вс. отрезок вс перпендикулярен плоскости треугольника. через точку с провести перпендикуляр к прямой ак, дать полное объяснение построению. 2. к плоскости квадрата mnpq проведён перпендикуляр ка, равный 3 см. найти расстояние от точки а до мр, если сторона квадрата 4 см. 3. точка а проектируется в центр окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см. расстояние от точки а до плоскости треугольника 5 см. найти расстояние от а до каждой стороны треугольника. 4. стороны треугольника 4 см, 13 см, 15 см. точка м равноудалена от сторон треугольника и находится на расстоянии 2 см от его плоскости. найти расстояние от м до сторон треугольника.

1)

диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. рассмотрим один из них δасд. угол ∠аос является развернутым углом, который равен 180º. исходя из этого:

∠сод = 180º - ∠аод;

∠сод = 180º - 70º = 110º.

треугольник δсод является равнобедренным, в которого углы ∠осд и ∠одс равны как углы при основании.

так как сумма всех углов треугольника равна 180º, то:

∠осд = (180º - ∠сод) / 2;

∠осд = (180º - 110º) / 2 = 35º.

ответ: угол   ∠осд равен 35º.

2)

периметром ромба есть сумма всех его сторон:

р = ав + вс + сд + ад.

для этого нужно вычислить сторону ромба. рассмотрим треугольник δаво. так как диагонали ромба пересекаются в точке о и делятся пополам:

ао = ос = ас / 2;

ао = ос = 10 / 2 = 5 см.

диагонали ромба так же являются биссектрисами его углов. таким образом:

∠аво = ∠авс / 2;

∠аво = 60º / 2 = 30º.

для вычисления ав применим теорему синусов:

sin в = ао / ав;

ав = ао / sin в;

sin 30º = 1 / 2 = 0,5;

ав = 5 / 0,5 = 10 см.

р = 10 + 10 + 10 + 10 = 40 см.

ответ: периметр ромба равен 40 см.

Розглянемо взаємне розміщення двох кіл, центри яких точки о1 і o2, а радіуси відповідно r1 і r2, де r1 ≥ r2. а) два кола не перетинаються, тобто не мають спільних точок (мал. 190 і мал. 191). тоді о1o2 > r1 + r2 (мал. 190) або о1o2 < r1 - r2 (мал. 191). б) два кола мають одну спільну точку (мал. 192 і мал. 193). в цьому випадку кажуть, що кола дотикаються, а спільну точку називають точкою дотику. можливі два випадки розміщення: дотик називають зовнішнім, якщо центри кіл розміщенні по різні боки від точки дотику (мал. 192) і внутрішнім, якщо по один бік від спільної точки (мал. 193). у випадку зовнішнього дотику: 1) о1o2 = r1 + r2. 2) у точці а існує спільна дотична l до двох кіл. 3) l о1o2. у випадку внутрішнього дотику: 1) о1o2 = r1 - r2. 2) у точці а існує спільна дотична l до двох кіл. 3) l о1o2. в) два кола мають дві спільні точки (мал. 194). в цьому випадку: r1 - r2 < о1o2 < r1 + r2. приклад 1. відстань між центрами двох кіл о1o2 = 9 см. визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їх радіуси дорівнюють: 1) r1 = 6 см; r2 = 3 см; 2) r1 = 7 см; r2 = 4 см; 3) r1 = 2 см; r2 = 5 см. розв’язання. 1) 9 = 6 + 3; о1o2 = r1 + r2; зовнішній дотик. 2) 7 – 4 < 9 < 7 + 4; r1 - r2 < о1o2 < r1 + г2; кола перетинаються. 3) 9 > 2 + 5; о1o2 > r1 + r2; кола не перетинаються. приклад 2. два кола мають зовнішній дотик. відстань між їх центрами 18 см. знайдіть радіуси кіл, якщо вони відносяться як 4: 5. розв’язання. позначимо радіуси кіл r1 = 4х см; r2 = 5х см. тоді r1 + r2 = 18; 4х + 5x = 18; 9х = 18; х = 2. отже, r1 = 4 ∙ 2 = 8 (см), r2 = 5 ∙ 2 = 10 (см).