На рисунке изображена сложная замкнутая ломаная. она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Думаю что можно так: провести из этой точки луч, который не пересекает вершины ломаной. тогда, если количество пересечений этого луча с ломаной нечетное, то точка лежит внутри многоугольника, ограниченного ломаной. если количество пересечений луча четное, то точка лежит вне многоугольника.       объяснить это можно так: если закрасить внутренность многоугольника черным, а внешнюю область белым, то выполняется следующее: 1) двигаясь по лучу от исходной точки, при каждом пересечении отрезка ломаной, цвет текущей области меняется на противоположный; 2) кроме того, если мы так двигаемся по лучу до тех пор, пока уже не будет пересечений с ломаной (а такое рано или поздно всегда случится, потому что многоугольник - ограниченное множество на плоскости), то в конце мы всегда оказываемся в белой области.         таким образом, если мы начинали из белой области (т.е извне многоугольника), то количество перемен цвета (т.е. пересечений с отрезками ломаной) будет четным. и если начинали из черной области (изнутри) то, количество перемен цвета будет нечетным.       луч обязательно надо проводить не через вершину ломаной, потому что иначе после такого пересечения цвет области может не поменяться. например, это случится когда угол, через вершину которого проходит луч, лежит целиком по одну сторону от луча.

1) s =s(abcd) =ab*bc*sin∠b =ab*2be*sin∠b=5*2be*sin100° =10besin100° . из треугольника abe  по теореме синусов : be/sinbae  = ab/sin∠bea ⇔be/sin50°    = 5/sin30°⇒ be =10sin50°. * *  *  ∠bea =∠ead =30°  как накрест лежащие углы * * *   s  =  10besin100° = 10*10sin50 °sin100° = 100sin50°sin100°  (см² ) . ab/sin∠bea =2r  ⇔ab/sin30² =2r  ⇒ r =ab =5 (см).2) s =(1/2)*pk*pt*sinα . из треугольника   по теореме синусов : pt/sin(180° -(α+β))  = pk/sinβ  ⇒pt =pksin(α +β)/sinβ. s =(1/2)*pk*pt*sinα=(1/2)*pk*pksin(α +β)/sinβ*sinα =pk²*sinαsin(α+β)/2sinβ⇒ pk =√2ssinβ/sinαsin(α+β) .

Это - совершенно тупая , но требующая больших усилий. этакая для "танков". тут такие редко встречаются, поэтому я решил выложить решение. с точки зрения изюминки совершенно пустая. 1) пусть s - площадь abc, s1 - площадь def. 2) поскольку у треугольника abc заданы все три стороны, то его площадь фактически тоже задана - она просто считается по формуле герона. чтобы потом не тратить место, я её сразу рассчитаю для треугольника со сторонами 5,4,6. p = (5 + 4 + 6)/2 = 15/2; p  - 5 = 5/2; p - 4 = 7/2; p - 6 = 3/2; s^2 = 15*5*7*3/2^4; s = 15√7/4; 3) из трех отрезков, выходящих из точки m, заданы два. третий me = n легко рассчитывается, если заметить, что s = mc/2 + ka/2 + nc/2; n = (2s - mc - ka)/b; для заданных в условии числовых значений n = 15√7/8 - 4; это приблизительно 0,960783708246107; 4) теперь надо приложить первое и последнее в этой мозговое усилие. четырехугольник afme имеет два прямых угла, поэтому сумма двух других углов ∠fae + ∠fme = 180°; это означает, что sin(∠fae) = sin(∠fme) = sin(a); где a - угол треугольника abc. площадь треугольника fme равна mn*sin(∠fme)/2 = mn*sin(a)/2; с другой стороны, s = bc*sin(a)/2; поэтому площадь треугольника fme находится так sfme = s*mn/bc; точно так же находятся площади треугольников fmd и dme, если результаты сложить, то очевидно получается s1/s = mn/bc + mk/ac + kn/ab; 5) нужно найти s/s1, округленную до ближайшего целого. для этого полезно уметь пользоваться excel : ). для s1/s получается приближенно 0,202777692001532; обратная величина 4,93150893537365; то есть в ответе должно стоять 5; поскольку n близко к 1, этот ответ легко получить и простыми арифметическими подсчетами.