Плоские углы трехгранного угла равны 45, 45 и 60 градусов. найдите двугранный угол, лежащий против плоского угла, равного 60 градусов

Воспользуемся формулой  cos  α  =    cos  β  cos  γ  +  sin  β  sin  γ  cos  a, где а- двугранный угол, составленный плоскостями углов  β   и  γ .тогда подставим значения и получим: кос60=кос45*кос45+син45*син45*косакорень из3/2=1/2+1/2*коса отсюда коса=(корень из(3)/2-1/2)*2=корень из 3 -1

площадь  прав тр через радиус вписанной окружности равен 3 корня из 3 на радиус в квадрате, а площадь вписанного круга равна пи на радиус в квадрате.

 

рассмотрим во сколько раз площадь треугольника больше площади круга.

 

пусть площадь круга х, тогда площадь треугольника (по условию) с одной стороны и с другой.

 

получим уравнение

 

разрешим относительно х. к знаменателю пи и приравняем числители

 

 

 

 

 

вынесем 3 корня из трех - пи за скобки и получим

 

 

площадь круга = 9пи

 

найдем радиус круга

 

т к радиус не может быть отрицательным то он равен 3

 

точку из которой проведены наклонные обозначим к. опусти из неё на плоскость перпендикуляр кс. точки пересечения наклонных с плоскостью а  и в. получим отрезки наклонных ак, вк и их проекции на плоскость ас  и вс. треуольники акс и вкс равны как прямоугольные по острому углу и катету (ф и кс). тогда их строны ак и вк равны. обозначим их х. соединим а и в. угол асв по условию равен в. углы кас и квс равны ф. ас=вс=х*cos ф. по теореме косинусов ав квадрат=(х*cos ф)квадрат +(х*cos ф)квадрат -2*х*cos ф*х*cosф*cosв. это в треугольнике асв. в треугольнике акв  аналогично ав квадрат=х квадрат+хквадрат-2*х*х* cos k. приравниваем полученные выражения и получим cos k=1-(cos ф)квадрат*(1-cos в). где к искомый  угол акв между наклонными