Впрямоугольном треугольнике из вершины прямого угла, проведена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 16 см, а другой 9 см. найдите стороны данного треугольника и площадь.

Сд =  √(ад +вд)=  √(16+9)=√25=5 ас =  √(5² + 9²)=  √106 вс =  √(16² + 5²)=  √281

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины. значит у медианы аа1=3√3   ао/оа1=2/1, тогда оа1=√3 рассмотрим прямоугольный  δсов, в нем <   сов=90 по условию. т.к.  медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника  равна половине гипотенузы, то  оа1=1/2св, значит  св=2оа1=2√3, а1с=а1в=св/2=√3 из прямоугольного  δаса1 найдем катет ас ас=√(аа1²-а1с²)=√((3√3)²-(√3)²)=√24=2√6 ав1=св1=ас/2=√6 из  прямоугольного δавс найдем  гипотенузу ав ав=√(ас²+вс²)=√((2√6)²+(2√3)²)=√36=6 ас1=с1в=ав/2=3 значит медиана сс1=1/2ав=3 из прямоугольного  δсв1в найдем гипотенузу  вв1: вв1=√(св1²+св²)=√((√6)²+(2√3)²)=√18=3√2 получилось медианы  сс1=3, вв1=3√2, значит вв1> сс1 ответ:   вв1=3√2.

Сделаем и рассмотрим рисунок.  медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины.⇒  аа₁  =3√  3ао=2√  3оа₁  =√  3треугольник сов по условию прямоугольный,  аа₁  - медиана  δ авс,    са₁  =ва₁    ⇒оа₁  - медиана прямоугольного треугольника совмедиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе,   равна ее половинеследовательно, са₁  =ва₁  =оа₁  =√  3и св=2√  3в₁  - середина асс₁  - середина авв₁  с₁  - средняя линия треугольника авсотсюда   его медиана аа₁    делится этой средней линией пополам.  ам=аа₁  : 2=1,5√  3в треугольнике аса₁    отрезок в₁м является средней линией и равен половине са₁  в₁м=0,5√  3из прямоугольного   ⊿ амв₁    найдем ав₁    по т. пифагора: ав₁²=ам²  -в₁м²ав₁  =√(6,75- 0,75)=√6точка в₁    - середина ас.св1=ав1=√6из прямоугольного треугольника всв₁    по т. пифагора найдем вв₁  вв₁  =√(св²+св₁²)=√(12+6)=√18=3√2найдем гипотенузу ав по т. пифагораас=2 ав₁  =2√6ав=√(ас²+  вс²)=√{  (2√ 6)² +(2√3 )²}=√36=6вторая медиана сс1   равна половине гипотенузы  δ авс сс₁  =3, и это меньше, чем   3√2следовательно, вв₁    - большая из данных медиан   и равна 3√2  [email  protected]