Втреугольнике авс сторона ав на 4 больше стороны вс. медиана ве делит треугольник на два треугольника. в каждый из этих треугольников вписана окружность. найдите расстояние между точками касания окружностей с медианой ве.

Пусть точки касания вписанных окружностей делят стороны треугольника cbe на отрезки (считая от с) z1 z2 z3, так что ec = z1 + z3; cb = z1 + z2; be = z2 + z3; аналогично для треугольника eba ae = z5 + z6; ab = z5 + z4; be = z6 + z4; надо найти z4 - z2; (это - расстояния от точки b до точек касания окружностей с be) по условию z4 + z5 = z1 + z2 + 4; z1 + z3 = z6 + z5; (точка e - середина ac, ae = ce) z2 + z3 = z4 + z6; (=be) вычитая из третьего уравнения второе, легко найти z4 - z5 = z2 - z1; если это сложить с первым, то 2*z4 = 2*z2 + 4;   откуда z4 - z2 = 2;

Обозначим радиус шара через х, тогда диаметр = 2х. объем шара = 4/3*пи*х^3 (если правильно помню, проверь). рисуй конус "в разрезе". проводи высоту. получится 2 прямоугольных треугольника, у которых внизу 1 угол прямой, 2 угол 60 градусов. высота = 2х, "нижний" катет треугольника равен радиусу основания конуса. обозначим его через r. r=2/корень(3) * х. площадь основания конуса = пи*r^2. его объем = h*sоснования*1/3 = 2х*пи*4/3*х^2 *1/3 = пи*8*х^3 / 9. объем конуса дели на объем шара, сокращай. должно получиться 2/3.

Доказательство: боковые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (bo = od — по условию, ao = oc — по условию, ∠doc = ∠aob — вертикальные), то есть ∠acd = ∠cab, а поскольку они являются накрест лежащими при прямых ab, cd и секущей ac, то ab параллельна dc. аналогично доказываем параллельность прямых bc и ad. итак, abcd — параллелограмм по определению. bc = ad, ab = cd (в параллелограмме противоположные стороны равны), ac — общая для треугольников acd и cab, поэтому они равны по трем сторонам. что и требовалось доказать.