Найдите градусную меру угла adc равнобедренной трапеции abcd , если диагональ ac образует с основанием bc и боковой стороной ab углы , равные 25 и 55 градусов соответственно.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы bad и adc равны.угол bad = угол bac + cad. угол bac по условию равен 55. угол cad = угол асb, поскольку основания пирамиды параллельны. таким образом cad= 25, а следовательно adc = 55+25 = 80

Биссектриса острого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. am - биссектриса, обозначим вм= 8х мс= 12х, тогда отношение 8х: 12х=8: 12  равно отношению сторон. но 8х+12х=15 20х=15 х=15: 20 х=3/4 вм=8х=8·(3/4)=6 мс=12х=12·(3/4)=9 по теореме косинусов из треугольника авс ас²=ав²+вс²-2·ав·вс·сos( ∠ b) 12²=8²+15²-2·8·15·сos( ∠ b) 144=64+225- 240·cos( ∠ b) cos( ∠ b) =(64+225-144)/240=145/240=29/120 из треугольника авм по теореме косинусов: ам²=ав²+вм²-2·ав·вм·сos( ∠ b) am²=8²+6²-2·8·6·(29/120)=64+36-23,2=76,8 ам=16√0,3

Пусть ромб имеет сторону a и диагонали d1 и d2. тогда a = sqrt((d1/2)^2+(d2/2)^2)=sqrt(d1^2+d2^2)/2. теперь рассмотрим треугольник, у которого две стороны равны a, третья сторона является d1. искомый острый угол находится  в этом треугольнике  между сторонами, равными a. площадь этого треугольника можно найти двумя способами. 1) s=1/2 * d1 * d2/2 = d1*d2/4 2) s=1/2 * sin(fi) * a * a = 1/2 * sin(fi) * ( sqrt(d1^2+d2^2)/2)^2 = 1/2 * sin(fi) * (d1^2+d2^2) / 4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8приравняем их и получим: d1*d2/4= (d1^2+d2^2)*sin(fi)/8,sin(fi)=2*d1*d2/(d1^2+d2^2) подставим значения: sin(fi)=2*3*4/(3^2+4^2)=24/25