Всем добрый вечер! решить данную : высота правильной треугольной пирамиды равна h. двугранный угол при основании пирамиды равен альфа. найдите объем пирамиды!

Htitybt dsukzlbn nfr

Чтобы измерить, например, высоту холма, нивелировщик устанавливает нивелир у его подошвы строго вертикально, по отвесу. горизонтальная планка нивелира должна быть направлена к склону холма. глядя вдоль планки, нивелировщик замечает, в какую точку она направлена. в эту точку нивелировщика вбивает первый колышек. поскольку высота нивелира равна 1 м, вбитый колышек находится на 1 м выше того места, где установлен нивелир. затем нивелировщик переносит нивелир на место первого колышка и указывает , куда вбить второй колышек.

условие

катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведённой к гипотенузе.

также доступны документы в формате tex

подсказка

вычислите указанную высоту, радиус вписанной окружности, расстояние от центра окружности до вершины прямого угла.

также доступны документы в формате tex

решение

первый способ.

пусть r — радиус окружности с центром o, вписанной в прямоугольный треугольник abc с катетами ac = 48 и bc = 36, ch — высота треугольника abc, m и k — точки касания окружности со сторонами ab и ac соответственно, p — проекция центра o на ch. тогда

ab = $\displaystyle \sqrt{ac^{2} + bc^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

om = ok = r = $\displaystyle {\frac{ac + bc - ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

ch = ac . $\displaystyle {\frac{bc}{ab}}$ = 48 . $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$,

cp = ch - ph = ch - om = ch - r = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$ - 12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{84}{5}}$,

oc = $\displaystyle {\frac{ok}{\sin \angle ock}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sin 45^{\circ}}}$ = r$\displaystyle \sqrt{2}$ = 12$\displaystyle \sqrt{2}$,

следовательно,

op = $\displaystyle \sqrt{oc^{2} - cp^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(12\sqrt{2})^{2} - \left(\frac{84}{5}\right)^{2}}$ = 12$\displaystyle \sqrt{2 - \frac{49}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$.

второй способ.

пусть r — радиус окружности с центром o, вписанной в прямоугольный треугольник abc с катетами ac = 48 и bc = 36, ch — высота треугольника abc, m и k — точки касания окружности со сторонами ab и ac соответственно, p — проекция центра o на ch. тогда

ab = $\displaystyle \sqrt{ac^{2} + bc^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

om = ok = r = $\displaystyle {\frac{ac + bc - ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

bh = $\displaystyle {\frac{bc^{2}}{ab}}$ = $\displaystyle {\frac{36^{2}}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$,

bm = bk = bc - ck = bc - r = 36 - 12 = 24,

op = mh = bm - bh = 24 - $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$.