Площадь прямоугольного треугольника равна 50 корень из 3 деленное на 3. один из острых углов равен 60. найдите длину катета, лежащего напротив этого угла

1) треугольник прямоугольный, углы равны 90, 60 и 30
пусть х - искомый катет, тогда гипотенуза=х/сos30= (2x)/sqrt{3}
другой катет = половине гипотенузы =(1/2)*((2x)/sqrt{3})=х/sqrt{3}

S треугольника = (1/2)*(х/sqrt{3})*х=(50*sqrt{3})/3
х=10

Искомый катет = 10

Искомая площадь - сумма площадей двух сегментов круга, отсекаемых от него ромбом.

Угол СТО опирается на диаметр и равен 90º

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка из этой точки, перпендикулярного к этой прямой. 

ОТ ⊥ ВС  и является расстоянием от О до ВС. 

ТО=3 см ( расстояние от точки до прямой - перпендикуляр)

Формула площади сегмента ромба:

S=0,5R²[(πα/180º)-sin α], 

где R радиус круга, α - угол сегмента в градусах, π≈3,14

∆ ВОС~∆ ВОТ ( прямоугольные с общим углом при В)

∠ВОТ=∠ВСО

tg∠ВОТ=ВТ:ТО=√3:3=1/√3. Это тангенс 30º

∆ ТО1С равнобедренный. 

∠ ТСО₁=∠ СТО₁

∠ ТО₁С=180-2∠ТСО₁

Отсюда ∠ТО₁С=180º-2*30º=120º

Из ∆ ТОС

ОС=ТО:sin30º=3:0,5=6 см

R=ОС:2=3 см

Сумма площадей 2-х сегментов 

S=R²[(πα/180º)-sin α],

sin 120º=√3/2

Подставим найденные величины:

S=3²[(π120º/180º)-√3/2]

S=6π-9√3)/2

S=6π-4,5√3≈11,055 см²

-------

В приложении решение дано несколько иное, хотя принцип тот же.  

Дано:                                     Решение:
ΔАВС-равносторонний        1) ВК - в равностороннем ΔАВС- является и
АВ=ВС=АС=9√3                     высотой и медианой
ВК-биссектриса  
 Найти: ВК=?                       2) рассмотрим ΔАВК-прямоугольный
                                               АВ=9√3, АК=1\2 АС=1/2·9√3=4,5√3=9/2√3
                                            3) По Т.Пифагора: ВК=√АВ²-АК²=
                                               = √(9√3)²-(9/2√3)²=
                                               = √81·3-81/4·3=√729/4=27/2=13,5
                                       ответ: 13,5