Высоты остроугольного треугольника abc, про- веденные из вершин a и b, пересекаются в точке h, при- чем ∠ahb = 120◦, а биссектрисы, проведенные из вершин b и c, в точке k, причем ∠bkc = 130◦. найдите угол abc.

пусть аа₁ и вв₁ - высоты, вв₂ и сс₁ - биссектрисы.

1. рассмотрим δвна₁, < на₁в=90°.

< вна₁=180°-120°=60°

< нва₁=90°-60°=30° 

2. рассмотрим δвкс

< квс+< ксв=180°-130°=50°

3. < в+< с=2·50°=100°

< а=180°-100°=80°

4. рассмотрим δав₁в, < ав₁в=90°.

< в₁ва=90°-80°=10°

5. < авс=< нва₁+< в₁ва=30°+10°=40°

ответ. 40° 

Однажды во время небольшого привала крепостной Степан увидел необычную девушку и сразу понял, что это Хозяйка Медной горы.
Позже приказчик, которому Степан передал слова Хозяйки Медной горы, приказал выпороть Степана, его отвезли в сырую шахту и приковали цепями, заставив добыть как можно больше малахита. Хозяйка Медной горы ему и показывает свое богатое приданое, но Степан отказывается жениться на ней, потому что у него есть невеста, деревенская девушка Настя. Степана заставляют добывать как можно больше малахита, он получает свободу и женится на Насте, но он стал грустить и часто ходить к руднику.
Вскоре Степана находят мертвым, а около него красивую, горько плакавшую, малахитовую ящерицу.

b1. ↑mn (- 4 ; 3 )

|↑mn| = √)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

b2. а( 2 ; 0 ), в( - 1 ; 3 ), с( 4 ; 6 )

↑ba = {2 - (- 1) ; 0 - 3} = {3 ; - 3}

↑bc = {4 - (-1) ; 6 - 3} = {5 ; 3}

↑a = ↑ba - ↑bc = {3 - 5 ; - 3 - 3} = {- 2 ; - 6}

b3. a( 2 ; 3 ) с( 2 ; 1 ) - середина отрезка ав.

b( x ; y)

координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат:

2 = (2 + х)/2

x + 2 = 4

x = 2

1 = (3 + y)/2

y + 3 = 2

y = - 1

b( 2 ; - 1 )

b4. а( 1 ; 4 ) b( - 3 ; 7 )

ав - диаметр окружности,

o( х ; у ) - центр окружности, т.е. середина отрезка ав.

x = (1 + (- 3))/2 = - 1

y = (4 + 7)/2 = 11/2 = 5,5

o( - 1 ; 5,5 )

b5. а( 2 ; - 5 ) и в( 1 ; 6 )

↑ab = ↑ca

пусть с( х ; у )

↑ab = {1 - 2 ; 6 - (- 5)} = {- 1 ; 11}

↑ca = {2 - x ; - 5 - y}

так как векторы равны, координаты их так же равны:

2 - x = - 1

x = 3

- 5 - y = 11

y = -16

c( 3 ; - 16 )

b6. a( 2 ; 6 ) и в( 4 ; 8 )

ab = √((2 - 4)² + (6 - 8)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2