Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно 2 корней из 11

По теореме Пифагора находим половину диагонали основания (обозначим с):


Теперь по теореме Пифагора находим высоту пирамиды:


Находим объём:

Трапеция АВСД: АД=17, ВС=4, АВ=12, СД=5
Середина основания АД точка Е: АЕ=ЕД=АД/2=17/2=8,5
Середина основания ВС точка К: ВК=КС=ВС/2=4/2=2
Проведем прямую ВМ, параллельную СД, значит ВМ=СД=5, ВС=МД=4
АМ=АД-МД=17-4=13
Полупериметр ΔАВМ
р=(АВ+ВМ+АМ)/2=(12+5+13)/2=15
Площадь ΔАВМ по ф.Герона
Sавм=√15(15-12)(15-5)(15-13)=√15*3*10*2=√900=30
Опустим из К высоту КН трапеции на сторону АД, она же равна и высоте ВН₁ ΔАВМ (Н₁Н=2)
Тогда Sавм=АМ*ВН₁/2,
ВН₁=КН=2Sавм/АМ=2*30/13=60/13
Из прямоугольного ΔАВН₁:
АН₁=√(АВ²-ВН²)=√(144-3600/169)=√20736/169=144/13
АН=АН₁+Н₁Н=144/13+2=170/13
АН=АЕ+ЕН, откуда ЕН=АН-АЕ=170/13-8,5=119/26
Из прямоугольного ΔЕКН:
ЕК=√(ЕН²+КН²)=√((119/26)²+(60/13)²)=√28561/676=169/26=6,5
ответ: 6,5

Вариант решения. 
Проведем ВЕ параллельно СД. 
В треугольнике АВЕ стороны ВЕ=5 см, АВ=12 см, АЕ=17-4=13 см.
Налицо треугольник c отношением сторон из троек Пифагора, в котором 
а²+b²=c², т.е. треугольник АВЕ - прямоугольный ( это легко проверить по т.Пифагора). 
Тогда, продолжив стороны АВ и СД до их пересечения в точке Н, получим прямоугольный треугольник АНД . 
НМ - медиана прямоугольного треугольника АНД. 
НК - медиана прямоугольного треугольника ВНС. 
Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. НК=ВС:2=2 
НМ=АД:2=8,5 
КМ=НМ-НК=8,5-2=6,5 см