1. в наклонной призме ab cda1b1c1d1 основанием является прямоугольник со сторонами ab= 6 см и ad = 8 см, боковая грань abb1a1 - квадрат, двугранный угол с ребром ab равен 60 градусов. найдите объем призмы. (если можно рисунок) 2. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5см и прилежащим углом 30 градусов. боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. найдите объем пирамиды. 3. площадь боковой поверхности конуса равна 65 пи см квадратных, а его образующая равна 13 см. найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.

1) Объем призмы :
 V=S(ABCD)*H =6*8*(6cos60°) =6*8*6*(1/2) =144  (см ³).    °  *
2)  < A = 30° ; AC =5 ;    <C =90°   ;β =45°
Объем пирамиды :
V=1/3S(ABC)*H  ,     H =SO ,  SO ┴ (ABC)  [ S_  вершина пирамиды  ] .
Пусть < C =90° ;
cos30 °= AC/AB      ***  α =<A =30° ***
AB =AC/cos30 ° =5:√3/2 =10/√3  .
BC =1/2*10/√3  =  5/√3 . (катет  против угла 30°) ;
S(ABC) =1/2*AC*BC =1/2*5* 5/√3 =25/(2√3)  .
Если все боковые ребра пирамиды  наклонены  к плоскости основания под одним  углом
 (данном случае  под 45° то высота пирамиды  проходит через центр описанной около основания  окружности  здесь середину  O гипотенузы  AB) ,
AO  =BO ;
 ΔAOS   равнобедренный  прямоугольный :  <AOS=90° ,   <SOA =  45° .
SO =AO  .
SO =AO =AB/2 =5/√3   ;
V=1/3S(ABC)*H =1/3*25/(2√3)*5/√3 =125/18 (см³).
V =125/18 см³.

3)  S=π*R*L ;
65π =π*R*13 ;
R=5  ;.
H =√(13² -5²) =12;
V=1/3*S*H ;
V =πR²H/3
x³ =  (π*5²*12)/3 =100π ;
x =∛100π .

В правильной пирамиде высота падает в центр основания, то есть в центр правильного многоугольника. Правильный четырёхугольник это квадрат, а его центр находится на пересечении диагоналей. Боковые грани правильной пирамиды это равнобедренные треугольники, которые равны. Апофема это высота боковой грани. В квадрате все стороны равны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть P∈AD и MP⊥AD, тогда MP=17см и AP=PD т.к. в равнобедренном Δ высота является и медианой.

Пусть H∈(ABC) и MH⊥(ABC), тогда AC∩BD=H.

ΔMHP - прямоугольный, найдём неизвестный катет.

см.

ΔAHD - равнобедренный, поэтому PH не только медиана, но и высота.

ΔHPD - прямоугольный, ∠HDP=45° т.к. диагонали квадрата являются и биссектрисами, значит HP=PD=8см - равны как катеты, прямоугольного Δ с острым углом в 45°.

AD=2·PD=2·8см=16см.

Площадь квадрата можно найти через сторону, а площадь равнобедренного треугольника через сторону и высоту опущенную на эту сторону.

S(ABCD) = AD²=16² см².

S(AMD) = MP·AD:2=17·16:2 см².

S(бок. пов.) = 4·S(AMD)=4·17·16:2 см²=2·17·16 см².

S(полн. пов.) = S(ABCD)+S(бок. пов.) = 16²см²+2·17·16 см² = 32·(8+17)см² = 8·4·25см²=800см².

ответ: 800см².

Если известны стороны!
Проведем две медианы к боковым сторонам треугольника. 
Так как он равнобедренный, медианы эти равны и отсекают от исходного треугольника два меньших, равных между собой. 
Угол при основании неизвестен, поэтому обозначим его α и его косинус -  cosα
Выразим медиану одного из образовавшихся треугольников по теореме косинусов. 
Чтобы найти косинус угла при основании, применим теорему косинусов к данному в условии задачи треугольнику, стороны которого известны. 
Подставив найденное значение cosα в уравнение медианы, найдем ее длину.