Через вершины a и b треугольника abc проведены две параллельные прямые, а прямые l1 и l2 симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. докажите, что точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на описанной окружности треугольника abc.

Точка D - пересечение прямых l1 и l2.

Симметричные прямые составляют равные углы с биссектрисами, а значит и со сторонами треугольника. Обозначим эти углы x и y.

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных равна 180.

x +A +B +y =180

A +B +C =180

x +y +D =180 (△ABD)

C +D =180

ACBD - описанный четырехугольник (т.к. сумма противоположных углов равна 180), вершины лежат на одной окружности.

А) Пусть SO высота пирамиды, а KH — перпендикуляр, проведенный из K к плоскости ABC. Очевидно, что основание перпендикуляра H — проекция точки K, лежит на BO — проекции BS. Докажем, что M, H и С лежат на одной прямой. Пусть MC пересекает BO в точке T, и пусть N — середина AB. Запишем теорему Менелая для треугольника BNO и прямой CM: дробь, числитель — BM, знаменатель — MN умножить на дробь, числитель — NC, знаменатель — CO умножить на дробь, числитель — OT, знаменатель — TB = 1, тогда дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — OT, знаменатель — TB = 1. Из последнего соотношения получаем: OT : TB = 7 : 3. Но OH : HB = SK : KB = 7 : 3. Значит, точки H и T совпадают. Следовательно, CM пересекает BO в точке H. Плоскость KMC содержит KH, которая перпендикулярна ABC, таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны. Поэтому плоскость α проходит через точку C.
б) Заметим, что
KH= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 SO= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 корень из { SA в степени 2 минус AO в степени 2 }= дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 .

Вычислим CM при теоремы косинусов:
CM в степени 2 =9 в степени 2 плюс 1 в степени 2 минус 2 умножить на 9 умножить на 1 умножить на косинус 60 в степени circ = 73.
Поэтому площадь треугольника CKM равна
S= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 умножить на корень из { 73}= дробь, числитель — 6 корень из { 73}, знаменатель — 10 .
ответ: б) дробь, числитель — 6 корень из { 73}, знаменатель — 10 .

1. Прямая ВC формула прямой у=(3-х)/7

Прямая АВ формула прямой у=2х-21

Прямая АС формула прямой у= -х-3

2. у=9-3х  медиана  АА1

у=1/3х-39/9 - медиана ВВ1

у= -0,5х-1 - медиана СС1

3. у(АА2)=7,1х-51,5

ВВ2 высота у=х-11

СС2 уравнение  у= -0,5х-1

4. А3(5;-6) т пересечения медианы АА1 и высоты ВВ2

5.tg∠A=3

tg∠B=tg∠A

tg∠C=2/3/

Объяснение:

1. Коэфициент при х - это (у-уо)/х т.В(10;-1)

для ВС (у-уо)/х=(-1+21)/10=2

2. АА1 - медиана Определим координаты А1(3; 0)

уравнение медианы АА1

у=9-3х

ВВ1 - медиана В1(1; -4)

у=1/3х-39/9

СС1 С1 (8; -5)

у= -0,5х-1

3.АА2 высота

А2 (7,2; -0,6)

у(АА2)=8,5/1,2х-61,8/1,2=7,1х-51,5

ВВ2 высота

координата В2=(4; -7)

у=х-11

СС2 тС2=С1 (8; -5)

у= -0,5х-1

5. tg∠A=CC1/AC1

Определяем модули векторов СС1 (12;-6) и АС1 (2;4)

tg∠A=/=3

tg∠B=tg∠A

tg∠C=2*AC1/CC1=2*/=2/3/