Найдите площадь поверхности шара, описанного вокруг правильной треугольной пирамиды если ее высота равна h и образует угол гамма с ее боковым ребром

Rшара =(R1²+h²)/2h,R1-радиус окружности описанной около основания,h-высота пирамиды
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами h и R1,угол между
катетом (высотой)и гипотенузой (боковым ребром ) равен γ
R1=htgγ
R=(h²tg²γ+h²)/2h=h²(tg²γ+1)/2h=h/2*1/cos²γ=h/2cos²γ
S=4πR²
S=4π*h²/4cos^4γ=πh²/cos^4γ

По условию задачи просят найти неизвестную сторону ромба, то есть проведя диагонали мы получили 4 прямоугольных треугольника. гипотенуза равна 12 и один из катетов (высота) 2,4, нам надо найти второй катит, здесь нам Пифагор ищем катет по формуле c2=b2+a2, и остается только подставить 144=5,76+x2, получилось уравнение, но перед тем как его решить необходимо записать его в правильном виде −x2=5,76−144/*(−1)
x2=−5,76+144
x2=138,24 /2
x= 69,12
после извлекаем корень из 69,12 и получаем приблезительно 8,3

Задача решена Пользователем Рисадес Хорошист

Исправлена неточность в последнем действии.

Шар может быть вписан в цилиндр только тогда, когда этот цилиндр правильный, т.е. когда его осевое сечение является квадратом.

Радиус основания цилиндра равен радиусу шара и равен r.

Высота цилиндра равна диаметру основания и равна 2 r. 

Полная площадь поверхности складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности:

2*πr² + 2πr*2r = 6πr²

Площадь шара = 4πr²

Площадь цилиндра больше площади шара в

6πr² : 4πr² = 1,5 (раза)

Площадь полной поверхности шара 

111 : 1,5 = 74 ( единиц площади)