1. прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? сделайте рисунок для каждого возможного случая. 2. через точку о, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. прямая l пересекает плоскости α и β в точках а1 и а2 соответственно, прямая m – в точках в1 и в2. найдите длину отрезка а2в2, если а1в1 = 12 см, в1о: ов2 = 3 : 4.

Ну вот сегодня что-то не вышло у меня найти "красивое решение". может, потом что-то в голову придет. но тупое решение я конечно нашел, тут только на вид сложно. пояснения к рисунку. стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠a = 120°; l - биссектриса этого угла. буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины a до концов биссектрис. стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n; нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный. по ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем. 2*s = bc*sin(a) = bl*sin(a/2) + cl*sin(a/2); l = 2bc*cos(a/2)/(b + c) = bc/(b + c); длины отрезков x и y также легко найти, и они похожи на l x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. теперь можно приступить к решению. из теоремы косинусов легко найти k^2 = x^2 + y^2 + xy; m^2 = l^2 + x^2 - xl; n^2 = l^2 + y^2 - yl; кроме того, для всего треугольника тоже есть связь a^2 = c^2 + b^2 + bc; легко видеть, что надо доказать, что 2l^2 = xl + yl + xy; или 2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c); или (что тоже самое, все преобразования - обратимы) 2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для  k, m, n выполняется теорема пифагора, что и нужно. но последнее соотношение легко получить из a^2 = c^2 + b^2 +cb; => a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; => (a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); => 2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.

пусть о1, о2 и о3 - центры заданных окружностей с радиусами 12, 12 и 1 см.

стороны треугольника с вершинами в этих точках равны 24 и 2 по 13 см.

косинус угла α при вершинах о1 ио2 равен:

cos α = (24² + 13² - 13²)/(2*24*13) = 12/13.

находим стороны ав и ас треугольника авс.

ав = ас = √(12² + 12² -2*12*12*(12/13)) = 12√(2/13) см.

сторона вс из подобия равна: 24*(1/13) = 24/13 см.

высота h треугольника авс к стороне вс равна:

h = √(ав² - (вс/2)²) = √((144*2/13) - (144/169)) = (12/13)√(26 - 1) = 60/13.

площадь треугольника авс равна:

s(авс) = (1/2)*(24/13)*(60/13) = 720/169.

радиус r окружности, описанной около треугольника abc, равен:

r = (abc)/(4s) = ((12√(2/√(2/13))*(24/13))/(4*(720/169)) = 1728/720 = 2,4 см.