Свойства равнобедренного треугольника. доказать одно из них. с картинкой

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем свойство 1.

Дано: ΔАВС, АВ = ВС.
Доказать: ∠А = ∠С.

Доказательство:

Проведем медиану ВН.
АВ = ВС по условию,
АН = НС, так как ВН медиана,
ВН - общая сторона для треугольников АВН и СВН, ⇒
ΔАВН = ΔСВН по трем сторонам.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.
Значит, ∠А = ∠С.

 Сделаем рисунок для наглядности. 
 Дана площадь параллелограмма со сторонами  АВ=4 и  АД=5.  
S=16 
Найдем высоту ВН параллелограмма к стороне АД 
S=ah 
16=5h
 ВН=16:5=3,2 
Опустим из вершины С высоту СК к продолжению АД. 
НВСК - прямоугольник. 
НК=ВС=5 
АС - большая диагональ параллелограмма.  
Треугольник АСК - прямоугольный. 
АК=АД+ДК 
ДК²=СД²-СК² 
ДК²=16-10,24=5,76 
ДК=2,4 
АС²=(АД+ДК)²+СК²
 АС²=(7,4)²+(3,2)²=65 
АС=√65 =≈8,06≈8
АН=ДК=2,4 
ДН=5-2,4=2,6 
ВД²=ВН²+НД² 
ВД²=(3,2)²+(2,6)²=17
 ВД=√17 ≈4,123≈4
ответ:АС≈8, ВД≈4

Площадь параллелограмма = произведению его смежных сторон на синус угла между ними
S = AB · BC · sin α = 4*5* sin α =20 * sin α =16
sin α = 16/20=0,8
cos² α = 1 -  sin² α = 1 - 0,8² = 1 - 0,64 = 0,36
cos α = +-0,6

Найти большую диагональ, диагональ лежащую против БОЛЬШЕГО угла  ⇒ α>90 ⇒
cos α = - 0,6

В ΔАВС
Квадрат стороны = сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними
АС² = АВ² + ВС² -2 · АВ · ВС ·соs α =5² +4² + 2·5·4·0,6= 65
AC = √65 ≈ 8 - бОльшая диагональ параллелограмма