Дан параллелограмм abcd. его диагональ bd равна 5, а синус тупого угла adb равен 4/5.найдите площадь параллелограмма, если сторона cd равна корень из 41.

согласно теореме синусов для треугольника abd

sin adb          sin bad    

=

      ab                        bd

в данном случае

    4 / 5            sin bad

=   ,    откуда  sin bad = 4 / √41

      √ 41                  5

угол  adb - тупой, угол  bad - острый, поэтому

cos adb = - √(1 - (4/5)²) = -3/5

cos bad = √(1 - (4/√41)²) = 5/√41

sin abd = sin(adb + bad) = sin adb * cos bad + cos adb * sin bad =

= 4/5 * 5/√41 + (-3/5) * 4/√41 = (20 - 12) / (5 * √41) = 8 / (5 * √41)

площади треугольников  abd  и  cbd  равны, поэтому площадь

параллелограмма  abcd

s = ab * bd * sin abd = 5 * √41 * (8 / (5 * √41)) = 8

 

Выразим, чему равны угла а и в треуг-ка авс.  пусть < а = х, тогда  < b=90-< a=90-x.треугольники кас и мвс равнобедренные по условию. значит, углы при их основаниях кс и мс равны. < cka=< kca=< 1, < cmb=< mcb=< 2выразим, чему равны углы 3 и 4 в этих треуг-ах: < 3=180-< a=180-x< 4=180-< b=180-(90-x)=90+xвыразим углы 1 и 2, зная, что сумма углов треугольника равна 180°: < 1=(180-< 3): 2=(180-(180-x)): 2=x: 2< 2=(180-< 4): 2=(180-(90+x)): 2=(90-x): 2< kcm=< 1+90+< 2< kcm=x: 2 + 90 + (90-x): 2 = 135°

Дан прямоугольный треугольник с катетами "а" и "в". радиус "r" его описанной окружности равен 6,5, а радиус "r" вписанной окружности равен 2.если  радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны а - 2 и в - 2.по свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков: а - 2 + в - 2 = 13  или а + в = 17.по пифагору 13² = а² + в². возведём в квадрат равенство а + в = 17: а² + 2ав + в² = 289.    заменим а² + в² = 169. 2ав = 289 - 169 = 120, ав = 120/2 = 60. из выражения а + в = 17 выразим в = 17 - а и подставим в  ав = 60. подучим: а(17 - а) = 60    или 17а - а² = 60. получили квадратное уравнение а² - 17а + 60 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно a:   ищем дискриминант: d=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: a_1=(√))/(2*1)=())/2=(7+17)/2=24/2=12; a_2=(-√))/(2*1)=(-))/2=(-7+17)/2=10/2=5. полученные результаты и есть размеры катетов. ответ: катеты равны 5 и 12.