Дан прямоугольный треугольник. гипотенуза ab = 16 см, катет ac = 8 см. найти градусную меру угла b.

Сначала найдём площадь шестиугольника, вписанного в окружность. Пусть a - сторона шестиугольника, причём так как сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то R = a. Тогда площадь данного шестиугольника будет рассчитываться по формуле:

S1 = 3√3 R² / 2 = 3√3 a² / 2

Теперь найдём площадь шестиугольника, описанного около окружности. Известно, что радиус вписанной окружности равен стороне вписанного шестиугольника, то есть r = a.

S2 = 2√3r² = 2√3 a²

Теперь находим отношение этих площадей.

S1 / S2 = 3√3 a² / 2 : 2√3 a² = 3/4

Для начала построим треугольник  АВС по данным в условии значениям. Заметим, что это пифагоров треугольник, так как АС:ВС:АВ = 3:4:5 (из условия).

Итак, это прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ. Проведем через точку С  прямую "d" параллельно прямой АВ (дано). Треугольник ADC должен быть прямоугольным, так как сторона АС (диагональ трапеции) делит трапецию на два подобных треугольника (дано). Следовательно, угол АDC=90°.

Рассмотрим треугольники ADC и АВС.  Они подобны по условию с коэффициентом подобия k=АC/AB (отношение гипотенуз). Итак k=15/25=3/5.

Тогда из подобия треугольников AD=BC*k = 20*3/5 = 12 см., а

DC = AC*k = 15*3/5 = 9см.

Искомая площадь трапеции АВСD равна S = (AB+CD)*AD/2 = (25+9)*12/2 = 204 см².

ответ: Sabcd = 204 см².