Две окружности касаются внешним образом в точке c. прямая ab касается первой окружности в точки a, а второй - в точке b. а) докажите , что прямые ac и bc перпендикулярны друг другу. б) найдите площадь треугольника abc, если радиусы окружностей равны 2 и 8.

А) треугольники О1АС и СО2В равнобедренные,углы при основании равны
углы АО1С и СО2В односторонние, их сумма = 180
пусть угол АО1С=α, тогда СО2В=180-α
угол О1СА=(180-АО1С)/2=(180-α)/2
O2CB=(180-CO2B)/2=(180-180+α)/2=α/2
ACB=180-O1CA-O2CB=180-(180-α)/2-(α/2)=90

б)по теореме Фалеса
O1C/O1O2=ED/EO2=1/5=ED/6
ED=6/5
O1C/O1O2=AF/AB=1/5=AF/8
AF=8/5
CF=DE+EB=16/5
по теореме Пифагора
AC²=CF²+AF²=(64/25)+(256/25)=320/25
AC=8/√5
CB²=CF²+FB²=(256/25)+(1024/25)=1280/25
CB=16/√5
S(ABC)=AC·CB=128/5=25,6

А как вам такое решениеце? Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных (и подобных между собой, конечно) Поскольку в этих треугольниках оба катета исходного треугольника играют роль гипотенузы, площади этих треугольников отностятся как квадраты катетов (в данном случае - соответственных сторон)

S1/S2 = (6/8)^2 = 9/16;

В сумме S1 + S2 = 8*6/2 = 24;

Остюда очень легко найти S1, S2 и их разность :)

Вот один из Пусть S1 = 9x; S2 = 16x, где х - неизвестная величина.

Тогда S1 + S2 = 25x = 24; x = 24/25; 

S2 - S1 = (16 - 9)*x = 7*24/25 = 6,72; 

 

А как вам такое решениеце? Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных (и подобных между собой, конечно) Поскольку в этих треугольниках оба катета исходного треугольника играют роль гипотенузы, площади этих треугольников отностятся как квадраты катетов (в данном случае - соответственных сторон)

S1/S2 = (6/8)^2 = 9/16;

В сумме S1 + S2 = 8*6/2 = 24;

Остюда очень легко найти S1, S2 и их разность :)

Вот один из Пусть S1 = 9x; S2 = 16x, где х - неизвестная величина.

Тогда S1 + S2 = 25x = 24; x = 24/25; 

S2 - S1 = (16 - 9)*x = 7*24/25 = 6,72;