1. у прямого цилиндра в три раза увеличили радиус основания и в два раза уменьшили высоту. определить, во сколько раз изменился объем цилиндра. 2. дана правильная четырехгранная пирамида. сторона основания равна 8. высота равна 2. найти косинус угла наклона бокового ребра к основанию пирамиды.

Смотреть во вложении

№ 1 V=πR²H



ответ: в 4,5 раза

№ 2 пусть дана пирамида SABCD
SO - высота
<SDO - искомый угол
cos < SDO=
в основании квадрат, значит AB=8
BD= 8√2
OD=4√2
по теореме Пифагора 
SD=
cos < SDO=

S BB₁C₁C = ?

Работаем с 3-мя прямоугольниками. ABCD,  ADC₁B₁, BCC₁B₁

Обозначим: АВ = CD = a,  BC = AD = b,  CC₁ = x

S BB₁C₁C  = хb

SABCD = 12 = ab

SADC₁B₁ = 20 = b*DC₁    ( DC₁ ищем по т. Пифагора из ΔCDC₁

DC₁ = √(x² + a²)

20 = b*√(x² + a²)

рассмотрим систему уравнений:

20 = b*√(x² + a²)

12 = ab

Разделим 1-е уравнение на 2-е. Получим:

20/12 = √(x² + a²)/а, ⇒ 5/3 = √(x² + a²)/а | ²,  ⇒  25/9 = (x² + a²)/а², ⇒

⇒25а²  = 9(х² + а²), ⇒ 25а² = 9х² + 9а², ⇒16а² = 9х², ⇒ х² = 16а²/9, ⇒

⇒ х = 4а/3

Теперь смотрим S BB₁C₁C  = хb = 4a/3*b = 4ab/3 = 4*12/3 = 16

ответ : S BB₁C₁C = 16см²

1. 
Расстоянием между параллельными плоскостями является расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. 

Расстояние от точки  до плоскости  -- это длина перпендикуляра , опущенного из этой точки  на плоскость. ⇒

ВС - перпендикуляр, и треугольник АВС - прямоугольный. Так как все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости, то АА₁=ВС, и прямоугольные треугольники АВА₁ и АВС равны, т.к. у них общая гипотенуза и по равному катету. ⇒ АС=А₁В.

Определение: Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой.⇒ А₁В и АС- проекции отрезка АВ на каждую из плоскостей. 

Стороны треугольника АВС составляют одну из Пифагоровых троек, где стороны прямоугольного треугольника - целые числа. В этой тройке больший катет равен 12 ( можно проверить по т. Пифагора). 

Проекции отрезка АВ на параллельные плоскости равны.  АС=А₁В=12

-----

2.

Расстояние от точки  до плоскости  -- это длина перпендикуляра , опущенного из этой точки  на плоскость. Следовательно, углы ВВ₁А=СС₁А=90°
В треугольниках АВВ₁ и АСС₁ гипотенузы равны по условию,  равны и их острые углы: угол АВВ₁=90°- 40°=50°, угол АСС₁=90°-50°=40°. Следовательно, эти треугольники равны, и ВВ₁=АС₁. В   треугольнике больше та сторона, что лежит против большего угла.
СС₁>АС₁⇒ СС₁>ВВ₁