Радиус шара 15 см. вне шара дана точка а на расстоянии 10 см от его поверхности. найдите длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстоят от точки а на расстоянии 20 см.

Радиус шара 15 см.
Вне шара дана точка А на расстоянии 10 см от его поверхности.
Найти 
длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстают от А на 20 см Расстояние измеряется перпендикуляром. А находится на отрезке прямой, перпендикулярной диаметру искомой окружности. Точка А от центра шара удалена на 15+10=25 см ( радиус + расстояние)
Все точки искомой окружности находятся на поверхности окружности основания воображаемого  конуса, "надетого" на шар.
Смотрим схематический рисунок - разрез шара через центр и точку А. 
АО=15+10=25 см. 
ОК=R
АК - расстояние, на которое должна быть удалена точка А от поверхности. 
КМ- диаметр искомой окружности,КН - ее радиус. 
 
Имеем треугольник АКО со сторонами, отношение которых 3:4:5 - отношение прямоугольного "египетского" треугольника.
Радиус искомой окружности КН - высота этого треугольика. 
Чтобы найти высоту, применим свойство катета прямоугольного треугольника:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Пусть отрезок гипотенузы, заключенный между катетом и высотой,
ОН =х
Тогда 
ОК ²=х*25
25х=225
х=9
Из треугольника КНО 
КН²=КО²-ОН²= 225-81=144
КН=r=12 см 
Длина окружности с радиусом 12 см
С=2πr= 2π12=24π cм

Пусть основание тр-ка равно а. Тогда Биссектриса делит боковую сторону на отрезки в отношении 8/a, считая от вершины, противоположной основанию. Пусть эти отрезки равны m и n. Тогда

n/m = a/8;

m + n = 8;

Прямая, соединяющая концы биссектрис углов при основании, II основанию, и отсекает подобный треугольник, поэтому

m/8 = 2/a; перемножаем это с первым уравнением, получаем

n/8 = 2/8; n = 2; m = 6; a = 8/3; 

Высота к основанию находится так

h^2 = 8^2 - (a/2)^2 = 8^2 - (8/6)^2 = 35*(8/6)^2; 

h = 4*√35/3; 

S = a*h/2 = (16/9)*√35

Три стороны одинаковые, AB = BC = CD.
Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD.
Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник.
Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма).
Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета).
Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа).
Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b.
Получаем систему
{ a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD)
{ a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD)
{ (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD)
{ ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC)
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2y - 2b = 0
b = y
Подставляем
{ 3a + 2b = 180
{ a + 4b = 180
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2a - 2b = 0
a = b
То есть все три угла равны друг другу
a = b = y
3a + 2a = 5a = 180
a = b = y = 180/5 = 36 градусов.
Самый большой угол
y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.