Параллельно стороне kn треугольника kmn проведена прямая, пересекающая стороны mk и mn в точках а и в соответственно. найдите длину отрезка ав, если известно, что площадь трапеции kabn составляет 75 % площади треугольника kmn, kn = 16.

Площадь треугольника AMB  составляет  (100 - 75) % =25 % площади KMN ,  иначе
S(AMB) =(1/4)S(KMN)  ⇔ S(AMB) / S(KMN) =(1/2)² .
ΔAMB  подобен  ΔKMN   ( AB  | | KN ) , следовательно :
S(AMB) / S(KMN) = (AB/KN)² ;
(1/2)² =(AB/KN)² ⇒ AB/KN =1/2 ⇒AB =KN/2 (те оказалась AB средняя линия  треугольника KMN) . 
AB = 16/2 =8 .

ответ :  AB = 8. 

В условии ошибка: ВС ║AD, а не АС, так как параллельные прямые не могут проходить через одну точку.

BF = DE по условию,

∠AED = ∠CFB по условию,

∠CBF = ∠ADE как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей BD, ⇒

ΔCBF = ΔADE по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит CF = AE,

BE = BF - EF, DF = DE - EF, а так как BF = DE, то и BE = DF,

∠CFD = ∠AEB как смежные с равными углами (∠AED = ∠CFB по условию),

значит ΔCFD = ΔAEB по двум сторонам и углу между ними.

Тогда ∠АВЕ = ∠CDF, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых АВ и CD секущей BD, значит АВ║CD.

Правильный ответ: 90 градусов.
Т.к. прямые параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов (назовём их целыми односторонними углами), а сумма односторонних углов, разбитых биссектрисами (нецелых односторонних углов), равна 180 / 2 = 90 (градусов).
При пересечении биссектрис образуется треугольник, в котором два угла мы уже определили (они равны по 45 градусов каждый, т.к. 90 / 2 = 45). Осталось определить третий угол образовавшегося треугольника, т.е. угол между биссектрисами внутренних односторонних углов. Он равен: 180 - 90 = 90 (градусов).