Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция , у которой одно основание вдвое больше другого. найти среднюю линию трапеции

Около единичной окружности рисуем равнобочную трапецию. Обозначим трапецию ABCD, Нижнюю левую вершину буквой A. Проведем среднюю линию трапеции и обозначим  MN, M лежит на стороне  AB. Центр единичной окружности обозначим O . AB=a, AD=2a, радиус окружности равен 1. Средняя линия MN=(BC+AD)/2=(a+2a)/2=3a/2=1,5a.
Надо найти величину a. 
Известно, r=1.  Соединим центр окружности O с точкой касания окружности на стороне AB, Точку касания обозначим P. Отрезок OP- радиус окружности и он перпендикулярен стороне AB. Продлим стороны AB, CD до пересечения. Точку пересечения назовем буквой K. Треугольник AKD-равнобедренный. BC-средняя линия треугольника, так как  AD=2BC,BC//AD, как основания трапеции.. Из вершины K треугольника AKD опустим высоту KL, L- точка пересечения с основанием AD, T- точка пересечения с основанием BC.  Рассмотрим два треугольника: AKL и OPK. Эти треугольники- подобные. Стороны взаимно перпендикулярны и общий угол. KL перпендикулярна AD, OP перпендикулярна AB, угол K- общий. Запишем пропорцию:  AL/OP=KL/PK, AL=a, OP=1, KL= 4 (BC-средняя линия треугольника, LT- высота трапеции, LT=2, точка T лежит на средней линии треугольника, значит высота KL=4), вычислим PK. Рассмотрим треугольник OPK. OP=1 , OK=3. 
PK²= OK²-OP², PK²= 3²-1²=9-1=8, PK=√8=2√2.
Подставим все величины в пропорцию.
a/1=4/2√2, a= 1·4/2√2, a= 2/√2=2·√2/√2·√2=√2, a =√2,
MN= 1,5a=1,5·√2= 3√2/2.
MN=3√2/2.

Вариант решения.
Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция, 
 у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию трапеции.
---------
Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда равны сумы его противололожных сторон. 
В трапеции АВСD 
АВ+СД=ВС+АД.
 АВ=СД. 
ВС+АД=2 АВ. 
Опустим из В высоту ВН. 
Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности и равна 2,
так как. радиус окружности равен единице. 
Пусть ВС=2а. Тогда АД=4а. 
2АВ=ВС+АД=6а 
АВ=3а 
АН=а.
 ВН=2 
По т. Пифагора 
ВН²=АВ²-АН² 
4=9а²-а² 
4=8а² 
а²=2/4 
а=(√2):2 
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
6а:2=3*(√2):2

Радиус вписанной окружности в ромб равен высоте, проведенной из центра ромба на его сторону.
Пусть сторона ромба с две полудиагонали образуют прямоугольный треугольник АВС с катетами АС и ВС.
Найдём сторону ромба (это АС).
АС = √(144² + 42²) = √(20736 + 1764) = √22500 = 150.
Площадь треугольника  можно записать двумя разными как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту h.
То есть:
h*150 = 42*144.
Отсюда искомая величина равна:
h = 42*144/150 =  6048 / 150 = 1008 / 25 =  40,32.

Пусть M и N, это середины оснований BC и AD равнобедренной трапеции ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, K и L — середины боковых сторон AB и CD. Тогда
KM || AC || LN, ML || BD || KN,
поэтому четырехугольник KMLN — прямоугольник. Значит, KL = MN, но KL — средняя линия трапеции, а MN — высота.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Доказательство
Пусть ABCD – данная трапеция. Проведем через вершину B и середину N боковой стороны CD прямую, пересекающую прямую AD в точке F .
Треугольники BCN и FDN равны по теореме 4.2, так как CN = ND, BCN = NDF как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ( BC ) и ( AD ) и секущей ( CD ). CNB = DNF как вертикальные. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BN = NF, BC = DF . Средняя линия трапеции MN является средней линией треугольника ABF и по теореме 4.12 ( MN ) || ( AD ) || ( BC ) и Теорема доказана.