Высота равнобокой трапеции с углом 45° равна меньшему основанию и равна 3 см. найдите площадь трапеции. надо )

проведем две высоты, она делит трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами по 3см   и квадрат со стороной 3см. большее основание состоит из двух катетов и одной стороны квадрата: 2*3+3=9см. площадь трапеции 1/2(3+9) *3=6*3=18

1. sabc - пирамида, ав = вс = √5, ас = 4.

пусть so - высота пирамиды, тогда ао, во и со - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы sao, sbo и sco - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. тогда δsao = δsbo = δsco по катету (общий so) и острому углу.

значит ао = во = со, значит о - центр описанной около авс окружности.

стоит запомнить: если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.

так как треугольник авс равнобедренный, о лежит на высоте вн, проведенной к основанию. вн является и медианой: ан = 2.

δавн: ∠анв = 90°, по теореме пифагора

вн = √(ав² - ан²) = √(5 - 4) = 1, ⇒

sin∠bah = bh / ab = 1/√5

по следствию из теоремы синусов:

2r = bc / sin∠bah = √5 / (1/√5) = 5

r = 5/2 = 2,5, т.е. во = 2,5

δsbo прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:

so = bo = 2,5

v = 1/3 sосн · so = 1/3 · (1/2 ac · bh) · so

v = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.

так как во больше вн, центр описанной около треугольника авс окружности лежит вне треугольника. чертеж пришлось уточнить.

2. если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. о лежит на высоте δавс, так как он равнобедренный.

вн - высота и медиана, ⇒ ан = сн = ав/2 = 3 см.

δавн: ∠анв = 90°, по теореме пифагора

ав = √(вн² + ан²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.

sin∠bah = bh/ab = 9/(3√10) = 3/√10

по следствию из теоремы синусов:

2r = bc / sin∠bah = 3√10 / (3/√10) = 10

r = 10/2 = 5 см, т.е. во = 5 см

δsob: ∠sob = 90°, по теореме пифагора

so = √(sb² - bo²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

v = 1/3 sосн · so = 1/3 · (1/2 ac · bh) · so

v = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³

начертить прямую произвольной длины.

с циркуля и линейки возвести перпендикуляр, равный данной высоте.

  ( это одно из простейших построений, вы наверняка   умеете его делать) 

обозначить основание перпендикуляра н, а свободный конец - в. это вершина треугольника. 

раствором циркуля, равным длине одной из сторон, из в, как из центра, провести полуокружность до пересечения с первой прямой.

точку пересечения обозначить а. 

соединив а и в, получим сторонуав. 

точно так же отложить вторую сторону раствором циркуля,    равным ее длине.

обозначить точку пересечения дуги с прямой с и соединить с в.

можно несколько иначе построить вторую сторону. 

от а отложить длину второй известной стороны.

свободный конец обозначить с.

соединив с и в, получим сторону вс. 

треугольник по двум сторонам и высоте построен.  

подробнее - на -