Расстояние между параллельными прямыми равно 6. на одной из них лежит вершина c, на другой — основание ab равнобедренного треугольника abc. известно, что ab= 16. найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник abc, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника abc. решить .

Равнобедренный ΔАВС: АС=СВ, АВ=16, высота СН=6 (расстояние между параллельными прямыми).
В равнобедренном треугольнике высота СН - и медиана, и биссектриса.
АН=НВ=АВ/2=8
АС=ВС=√(СН²+АН²)=√100=10
Площадь Sавс=СН*АВ/2=6*8=48
Полупериметр р=(2АС+АВ)/2=36/2=18
Одна окружность с центром О вписана в ΔАВС, радиус ее
ОН=Sавс/р=48/18=8/3.
Вторая окружность с центром О₁ касается 2 параллельных прямых (той прямой, где основание АВ - в точке Е), радиус ее О₁Е=СН/2=3
1 вариант: окружность не пересекает ВС (рисунок 1).
 Т.к. касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, то ,О₁ЕA=90°
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе , значит О₁А - биссектриса <ЕАС, а ОА - биссектриса <ВАС.
<ЕАС и <ВАС - смежные, а биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом, значит <О₁АО=90°.
Рассмотрим прямоугольные ΔО₁ЕА и ΔАНО: у них <EO₁A=<HAO=90-<EAO₁.
Значит эти треугольники подобны по острому углу
О₁Е/АН=ЕА/ОН
ЕА=О₁Е*ОН/АН=3*8/3 / 8=1
ЕН=ЕА+АН=1+8=9
Из прямоугольной трапеции О₁ОНЕ:
ОО₁=√(ЕН²+(О₁Е-ОН)²)=√(81+(3-8/3)²)=√730/9=√730/3
2 вариант: окружность пересекает ВС (рисунок 2).
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе , значит О₁А - биссектриса <ЕАС, а ОА - биссектриса <ВАС. Т.к. <ЕАС и <ВАС совпадают, то  О₁А и ОА  тоже совпадают.
Прямоугольные ΔАЕО₁ и ΔАНО подобны по острому углу ( <А- общий).
АО₁/АО=О₁Е/ОН=3/ / 8/3=9/8
АО=√(АН²+ОН²)=√(64+(8/3)²)=√640/9=8√10/3
АО₁=9АО/8=9*8√10/3 /8=3√10
ОО₁=АО₁-АО=3√10-8√10/3=√10/3
ответ: √730/3 или √10/3

Значит в первом треугольнике считаем эти углы: (180-42)/2=69. Во втором треугольнике так же рассуждаем, при основании угол в 69, значит вершина 42. А теперь доказываем, что они подобны: признак подобия по трем углам, это как раз наш случай. Вот и все.
∠А+∠В+∠С=180, так как треугольник равнобедренный ∠В=∠С, а угол ∠А=42,получаем: 42+∠В+∠В=180, ∠В=69
∠А1+∠В1+∠С1=180, так как треугольник равнобедренный ∠В=∠С=69,подставляем: ∠А1+69+69=180, ∠А1=42
∠А=∠А1=42,
∠В=∠В1=69
∠С=∠С1=69, значит треугольники подобны по трем углам.

Давай попробуем рассуждать логически

1) возьмём производную функции, и обнаружим, что y' = 2x+1
Интересует точка х0=1, знач производная в этой точке будет y'(1) = 3
это коэффициент наклона касательной, он получается 3.
уравнение касательной имеет вид y=kx+c, при этом k=3, значит
y=3x+c, теперь нужно найти константу с.
Значение функции у в т.х0 = 1+1+1 = 3, такое же значение будет иметь и касательная в т.х0=1 тоже. Значит
3 = 3* х0+с
3 = 3 + с
с = 0
Итого, ответ: касательная имеет уравнение у=3х

2) всё аналогично
y' = 6x-7
k = y'(2) = 12-7 = 5  --- полдела сделано
y(2) = 12-14+10 = 8
8 = 5 * x0 + c = 5 * 2 + c
8 = 10 + c
c = -2
получаем уравнение: у = 5х - 2

3) ещё аналогичнее
y' = 2x - 4
k = y'(-1) = -2-4=-6
y(-1) = 1 + 4 + 3 = 8
y(-1) = -6 * x0 + c
8 =  -6 * (-1) + c
8 = 6 + c
c = 2
получаем уравнение: у = -6х + 2

Вроде так, если не наврал нигде. Лучше проверь за мной.