Вокруг треугольника авс описана окружность. биссектриса угла а пересекает окружность в точке к. найти ак, если вс=а, угол в=бетта, угол с=гамма.

по расширенной  теореме синусов

ac\sin b=ab\sin c=bc\sin a=2r

 

bc=a

a=180-b-c

a\2=90-b\2-c\2

значит r=bc\(2sin a)=a\(2sin (180-b-c))=a\(2sin (b+c))

 

по свойству вписанных углов спряжающих одну и ту же дугу

угол свк=угол а\2=угол вск

 

окружность описання вокруг треугольника авс будет и описанной окружностью вокруг треугольника авк

по расширенной  теореме синусов

ак\sin (в+а\2)=2r

 

ак=2r * sin (в+а\2)=2*a\(2sin (b+c))*sin (b+90-b\2-c\2)=

=a\(sin (b+c))*sin (90+b\2-c\2)=a\(sin (b+c))*cos (c\2-b\2)=

=a\(sin (бетта+*cos (гамма.\2-бетта\2)

 

 

 

 

8см

Объяснение:

Теорема: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны:

1)  BM = BF        MD = DL

   FA = KA        EK = LE

2) Pcde = CD + DE + CE  =

=  CD + (DL + LE) + CE = (CD  + MD) + (EK +CE)  = CM + CK =

=  (BC - BM) + (AC - AK)

Т.к. ΔАВС - равнобедренный, то

ВС = АС = (Pabc - AB)/2 = (20 - 6)/2 = 7(cм)

Pcde = ВС + АС - ВМ - АК = 2 * 7 - ВМ - АК  = 14 - ВМ - АК    

3) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Но в равнобедренном треугольнике высота, а так же медиана и биссектриса, проведенные к основанию совпадают, следовательно,  СF -  медиана  и делит АВ пополам:

ВF = FA = 6 / 2 = 3 (см)

4) Т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то

BF = BM = 3(см)

FA = AK = 3(см)

Pcde = 14- ВМ - АК     = 14 -2*3 = 8(см)

Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.

В нашем случае это треугольник с боковыми гранями, одинаковыми 43 и основанием, одинаковым 12см. По аксиоме косинусов найдем угол при верхушке этого треугольника:

Cos = (b+c-a)/2bc. ( - меж b и c). В нашем случае:

Cos=(2*(43)-12)/(2*43)=-48/(2*48)=-(1/2).

То есть центральный угол тупой и равен 120.

Как следует, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360/120=3. Это ответ.

P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(3/3)*a. В нашем случае

R=(3/3)*12=43, что подходит условию задачки.