Биссектрисы углов a и в параллелограмма abcd пересекаются в точке k. найдите площадь параллелограмма, если bc=2, а расстояние от точки k до стороны ab равно 1.
Ответы
S =S(ABCD) -,
S =S(ABCD) = BC *EF * * * EF ⊥ BC и проходит через точку K * * *
S =BC *(KE+KF) ,но KE=KM и KF = KM (свойство биссектриса угла_каждая ее точка равноудалена от сторон угла).
S =BC *2KМ =2*2*1 =4 .
Для решения применим теорему Фалеса: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Чтобы без линейки с делениями разделить отрезок, длина которого не известна, нужно от одного из концов этого отрезка провести под углом к нему вс луч и на этом луче на равном расстоянии отметить нужное количество точек.
а) На вс луче отложим через равные промежутки 2+5 =7 точек. Затем через последнюю точку и конец заданного отрезка проведём прямую и через все точки ещё 6 прямых, параллельных ей. При этом заданный отрезок будет разделен на 7 равных частей. Отсчитаем 2 из получившихся отрезков. Остальная часть равна 5 отмеренным отрезкам, а исходный разделен в отношении 2:5
Можно на заданном отрезке откладывать не 7 отрезков, а провести всего 2 прямые - через седьмую и параллельно ей через вторую точку. Заданный отрезок будет разделён в нужном отношении.
б) и в) делим точно так же.
1. Дан отрезок АВ.
Начертим луч с началом в точке А под произвольным углом к отрезку.
2. С циркуля отложим на луче от точки А последовательно
(2 + 5 = 7) 7 равных отрезков произвольной длины.
Конец последнего отрезка обозначим С.
Соединим точки С и В.
Через все точки - концы равных отрезков на луче - проведем прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса, они отсекут на отрезке АВ равные отрезки.
3. Отсчитаем 2 из них, отметим точку К.
АК : КВ = 2 : 5
Задачи б) и в) решаются аналогично с таким отличием:
б)
2. на луче надо откладывать 10 равных отрезков (3 + 7 = 10);
3. От точки А отсчитать 3 отрезка и поставить точку К.
в)
2. на луче надо откладывать 7 равных отрезков (4 + 3 = 7);
3. От точки А отсчитать 4 отрезка и поставить точку К.
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Треугольник ABK - прямоугольный, потому что AK и BK - биссектрисы углов, которые в сумме составляют 180°. Сумма половин углов A и B параллелограмма равна 90°, значит и ∠BKA равен 90°.
Если M - проекция K на AB, то треугольник MBK подобен треугольнику ABK - это прямоугольные треугольники с общим углом.
Если обозначить ∠BAD = α; то ∠BAK =∠MKB = α/2;
отсюда легко найти
BK = AB*sin(α/2); MK = BK*cos(α/2) = AB*sin(α/2)*cos(α/2) = AB*sin(α)/2;
Но AB*sin(α) = H; - высота параллелограмма к стороне BC.
Поэтому H = 2*MK;
Площадь S = H*BC = 2*MK*BC = 4;