Основанием прямой призмы abca1b1c1 является прямоугольный треугольник abc, угол с = 90 градусов, ab=5, bc=корень из 5.высота призмы равно корню из 3.найдите угол между прямой c1в и плоскостью abb1.

Угол между прямой и плоскостью —это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
На рисунке данная призма для большей наглядности «уложена» на плоскость АВВ1А1 
Опустим перпендикуляр  С1Н из точки С1 наклонной С1В на плоскость АВВ1 
С1Н - высота прямоугольного треугольника В1С1А1 
Искомый угол -∠С1ВН  
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. ⇒ С1В1²=А1В1*В1Н 
5=5*В1Н 
В1Н=1 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.  
С1Н²=В1Н*НА1 
НА1=В1А1-В1Н=5-1=4 
С1Н²=1*4=4 
С1Н=√4=2 
Sin НВС1=С1Н:ВС1 
По т. Пифагора 
ВС1=√(ВС²+СС1²)=√(3+5)=√8=2√2 
Sin НВС1=2:2√2=1:√2=(√2):2 - это синус 45º

Т.к. острый угол ромба 60 гр. то диагональ BD отсекает равыносторонний треугольник АВD все его стороны по а Т.к. параллельна ВА , то точка С находится на расстоянииа\2 от С до альфа. Двугранный угол АВ построим его линейный угол. Из D проведём перпендикуляр к АВ это DK Пусть проекция D на альфа будет точка Р Р это основание перпендикуляра. Соединим основание перпендикуляра и основание наклонной получим отрезок КР это проекция  на альфа . По теореме о трёх перпендикулярах РК перпендикулярно альфа Тогда угол DKP  это линейный угол двугранного угла ВА.sinDKP= DP\DK= а\2: а =1\2 значит угол 30 гр.

Строишь радиусы в точки, где кончается хорда. Получаешь р/б треугольник с углом при вершине 120 °. Строишь в нем высоту к основанию. Получаешь два равных прямоугольных треугольника с углами 30°, 60°, 90°. Высота делит хорду пополам, поэтому против угла 60° лежит сторона 6 корней из 3. Гипотенуза тр-ков, которая равна радиусу, равна (6 корней из 3)/cos 30 ° = 12. Отсюда, по определению меры угла, длина дуги = 12* (120/180)*ПИ = 8 ПИ. 
Площадь сектора = ПИ * (радиус в квадрате)*(радианная мера дуги/2ПИ) => ПИ*144*((2ПИ/3)/ПИ)= ПИ*144*(1/3) = 
48 ПИ.